기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x$

단계 1

차분몫 공식을 적용합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

${(x + h)}^{2}$ 을 $(x + h) (x + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

단계 2.1.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + h) (x + h)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

단계 2.1.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

단계 2.1.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

단계 2.1.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

단계 2.1.2.1.3.1.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

단계 2.1.2.1.3.2

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.3.2.1

$x$ 와 $h$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

단계 2.1.2.1.3.2.2

$h x$ 를 $h x$ 에 더합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

단계 2.1.2.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

단계 2.1.2.1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

단계 2.1.2.1.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.5.2.1

$2 h x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

단계 2.1.2.1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

단계 2.1.2.1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

단계 2.1.2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ 와 $h^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

단계 2.1.2.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} h$

단계 2.1.2.1.7

$\frac{1}{4}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{4} h$

단계 2.1.2.1.8

$\frac{1}{4}$ 와 $h$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$

단계 2.1.2.2

최종 답은 $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$

단계 2.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{x}{4}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

단계 2.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ 를 옮깁니다.

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

단계 2.2.3

$h x$ 와 $\frac{h^{2}}{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

단계 2.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4}$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4}$

단계 3

식에 대입합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.2

$h x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + x h + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $x h$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + x h \cdot \frac{4}{4} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.4

$x h$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x h \cdot 4}{4} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.6

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{h^{2}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.7

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.7.1

$\frac{h^{2}}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.7.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2}{4} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.9

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.10

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.10.1

$\frac{x^{2}}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.10.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{4} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.13

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{x^{2}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.14

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.14.1

$\frac{x^{2}}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.14.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{4} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2}{4} - \frac{x}{4}}{h}$

단계 4.1.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2 - x}{4}}{h}$

단계 4.1.17

인수분해된 형태로 $\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2 - x}{4}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.17.1

$x^{2} \cdot 2$ 에서 $x^{2} \cdot 2$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x + 0 - x}{4}}{h}$

단계 4.1.17.2

$h^{2} \cdot 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x}{4}}{h}$

단계 4.1.17.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + 0}{4}}{h}$

단계 4.1.17.4

$h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4}}{h}$

단계 4.1.17.5

$h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.17.5.1

$h^{2} \cdot 2$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + x (h) \cdot 4 + h}{4}}{h}$

단계 4.1.17.5.2

$x h \cdot 4$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h}{4}}{h}$

단계 4.1.17.5.3

$h$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h^{1}}{4}}{h}$

단계 4.1.17.5.4

$h^{1}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h \cdot 1}{4}}{h}$

단계 4.1.17.5.5

$h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h (h \cdot 2 + x \cdot 4) + h \cdot 1}{4}}{h}$

단계 4.1.17.5.6

$h (h \cdot 2 + x \cdot 4) + h \cdot 1$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h (h \cdot 2 + x \cdot 4 + 1)}{4}}{h}$

단계 4.1.17.6

$h$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\frac{h (2 \cdot h + x \cdot 4 + 1)}{4}}{h}$

단계 4.1.17.7

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4}}{h}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 h + 4 x + 1}{4}$

단계 5