기초 미적분 예제

$p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ on $[- 3, 1]$

단계 1

$p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$

단계 2

평균변화율 공식을 사용하여 대입합니다.

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단계 2.1

함수의 평균변화율은 두 점의 $y$ 값의 변화량을 두 점의 $t$ 값의 변화량으로 나누어 구합니다.

$\frac{f (1) - f (- 3)}{(1) - (- 3)}$

단계 2.2

$f (1)$ 과 $f (- 3)$ 에 대하여 수식 $y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ 의 $t$ 에 각각 해당하는 $t$ 값을 대입합니다.

$\frac{(\frac{({(1)}^{2} - 4) ((1) + 1)}{{(1)}^{2} + 3}) - (\frac{({(- 3)}^{2} - 4) ((- 3) + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1) - (- 3)}$

단계 3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

분수의 분자와 분모에 $(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.1

$\frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$ 에 $\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)} \cdot \frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$

단계 3.1.2

조합합니다.

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (1 - (- 3))}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.3

소거하고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$1^{2} + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

단계 3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.3.2

${(- 3)}^{2} + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.1

$- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.3.2.2

$(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ 에서 ${(- 3)}^{2} + 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + ({(- 3)}^{2} + 3) (1^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.3.2.3

공약수로 약분합니다.

단계 3.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{(9 + 3) (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4.2

$9$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{12 (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{12 (1 - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4.4

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{12 \cdot - 3 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4.5

$12$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 36 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 36 \cdot 2 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4.7

$- 36$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 72 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{- 72 + (1 + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4.9

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{- 72 + 4 (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4.10

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{- 72 + 4 (- (9 - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4.11

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{- 72 + 4 (- 1 \cdot 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4.12

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 72 + 4 (- 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4.13

$- 3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 72 + 4 (- 5 \cdot - 2)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4.14

$4 (- 5 \cdot - 2)$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.14.1

$- 5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 72 + 4 \cdot 10}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4.14.2

$4$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{- 72 + 40}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.4.15

$- 72$ 를 $40$ 에 더합니다.

$\frac{- 32}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{- 32}{(1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.5.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{- 32}{4 ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.5.3

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{- 32}{4 (9 + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.5.4

$9$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{- 32}{4 \cdot 12 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.5.5

$4 \cdot 12 \cdot 1$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.5.1

$4$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$\frac{- 32}{48 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.5.5.2

$48$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 32}{48 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.5.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{- 32}{48 + (1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.5.7

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{- 32}{48 + 4 ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

단계 3.5.8

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{- 32}{48 + 4 (9 + 3) (- (- 3))}$

단계 3.5.9

$9$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{- 32}{48 + 4 \cdot 12 (- (- 3))}$

단계 3.5.10

$4 \cdot 12 (- (- 3))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.10.1

$4$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$\frac{- 32}{48 + 48 (- (- 3))}$

단계 3.5.10.2

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 32}{48 + 48 \cdot 3}$

단계 3.5.10.3

$48$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 32}{48 + 144}$

단계 3.5.11

$48$ 를 $144$ 에 더합니다.

$\frac{- 32}{192}$

단계 3.6

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 3.6.1

$- 32$ 및 $192$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.1.1

$- 32$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$\frac{32 (- 1)}{192}$

단계 3.6.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.2.1

$192$ 에서 $32$ 를 인수분해합니다.

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

단계 3.6.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

단계 3.6.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{6}$

단계 3.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{6}$