기초 미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

단계 1

차분몫 공식을 적용합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = {(x + h)}^{4} - 2 {(x + h)}^{3}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

이항정리 이용

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 {(x + h)}^{3}$

단계 2.1.2.1.2

이항정리 이용

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

단계 2.1.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 2 (3 x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3}$

단계 2.1.2.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.4.1

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3}$

단계 2.1.2.1.4.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 6 (x h^{2}) - 2 h^{3}$

단계 2.1.2.1.5

괄호를 제거합니다.

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

단계 2.1.2.2

최종 답은 $x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$ 입니다.

$x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

단계 2.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

단계 2.2.2

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

단계 2.2.3

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

단계 2.2.4

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

단계 2.2.5

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3}$

단계 2.2.6

$- 2 x^{3}$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 2 x^{3}$

단계 2.2.7

$- 6 h x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

단계 2.2.8

$- 6 h^{2} x$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

단계 2.2.9

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

단계 2.2.10

$4 h x^{3}$ 를 옮깁니다.

$6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

단계 2.2.11

$6 h^{2} x^{2}$ 를 옮깁니다.

$4 h^{3} x + h^{4} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

단계 2.2.12

$4 h^{3} x$ 와 $h^{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

단계 2.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

단계 3

식에 대입합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} - (x^{4} - 2 x^{3})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} - x^{4} - (- 2 x^{3})}{h}$

단계 4.1.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} - x^{4} + 2 x^{3}}{h}$

단계 4.1.3

$x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 을 뺍니다.

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 0 + 2 x^{3}}{h}$

단계 4.1.4

$h^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{3}}{h}$

단계 4.1.5

$- 2 x^{3}$ 를 $2 x^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 0}{h}$

단계 4.1.6

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

단계 4.1.7

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.7.1

$h^{4}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

단계 4.1.7.2

$4 h^{3} x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

단계 4.1.7.3

$6 h^{2} x^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

단계 4.1.7.4

$4 h x^{3}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

단계 4.1.7.5

$- 2 h^{3}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

단계 4.1.7.6

$- 6 h^{2} x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) - 6 h x^{2}}{h}$

단계 4.1.7.7

$- 6 h x^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

단계 4.1.7.8

$h (h^{3}) + h (4 h^{2} x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

단계 4.1.7.9

$h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

단계 4.1.7.10

$h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

단계 4.1.7.11

$h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h (- 2 h^{2})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

단계 4.1.7.12

$h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2}) + h (- 6 h x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

단계 4.1.7.13

$h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x) + h (- 6 x^{2})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2})}{h}$

단계 4.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2})}{h}$

단계 4.2.1.2

$h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}$

단계 4.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$h^{2}$ 를 옮깁니다.

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}$

단계 4.2.2.2

$h$ 를 옮깁니다.

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}$

단계 4.2.2.3

$h$ 를 옮깁니다.

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2}$

단계 4.2.2.4

$- 2 h^{2}$ 를 옮깁니다.

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} - 6 x h - 6 x^{2} - 2 h^{2}$

단계 4.2.2.5

$- 6 x h$ 를 옮깁니다.

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2}$

단계 4.2.2.6

$h^{3}$ 를 옮깁니다.

$4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + h^{3} - 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2}$

단계 4.2.2.7

$4 x h^{2}$ 를 옮깁니다.

$6 x^{2} h + 4 x^{3} + 4 x h^{2} + h^{3} - 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2}$

단계 4.2.2.8

$6 x^{2} h$ 와 $4 x^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3} - 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2}$

단계 5