기초 미적분 예제

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

단계 1

$f (x) = 4 e^{x}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 4 e^{x}$

단계 2

평균변화율 공식을 사용하여 대입합니다.

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단계 2.1

함수의 평균변화율은 두 점의 $y$ 값의 변화량을 두 점의 $x$ 값의 변화량으로 나누어 구합니다.

$\frac{f (2) - f (- 2)}{(2) - (- 2)}$

단계 2.2

$f (2)$ 과 $f (- 2)$ 에 대하여 수식 $y = 4 e^{x}$ 의 $x$ 에 각각 해당하는 $x$ 값을 대입합니다.

$\frac{(4 e^{2}) - (4 e^{- 2})}{(2) - (- 2)}$

단계 3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$4 e^{2}$ 을 ${(2 e)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(2 e)}^{2} - 1 \cdot 4 e^{- 2}}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.2

$4 e^{- 2}$ 을 ${(2 e^{- 1})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(2 e)}^{2} - {(2 e^{- 1})}^{2}}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2 e$ 이고 $b = 2 e^{- 1}$ 입니다.

$\frac{(2 e + 2 e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.4

간단히 합니다.

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단계 3.1.4.1

$2 e + 2 e^{- 1}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (e + e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.4.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.5

공통 분모를 가지는 분수로 $e$ 을 표현하기 위해 $\frac{e}{e}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 \frac{e e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.7

$e e$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.7.1

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \frac{e^{1} e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.7.2

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.7.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.7.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.8

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.8.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 \frac{1}{e})}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.8.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{e}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e + \frac{- 2}{e})}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.8.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.9

공통 분모를 가지는 분수로 $2 e$ 을 표현하기 위해 $\frac{e}{e}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{2 e e}{e} - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e e - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.11

$2 e e$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.11.1

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.11.2

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e^{1}) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.11.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{1 + 1} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.11.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.12

지수를 묶습니다.

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단계 3.1.12.1

$2$ 와 $\frac{e^{2} + 1}{e}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1)}{e} \cdot \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.12.2

$\frac{2 (e^{2} + 1)}{e}$ 에 $\frac{2 e^{2} - 2}{e}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e e}}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.12.3

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e}}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.12.4

$e$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e^{1}}}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.12.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1 + 1}}}{2 - (- 2)}$

단계 3.1.12.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 - (- 2)}$

단계 3.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 + 2}$

단계 3.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{4}$

단계 3.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

단계 3.4

항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

조합합니다.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1}{e^{2} \cdot 4}$

단계 3.4.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.2.1

$2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 4}$

단계 3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.1

$e^{2} \cdot 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

단계 3.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

단계 3.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

단계 3.4.3

$2 e^{2} - 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 2}$

단계 3.4.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1

$e^{2} \cdot 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

단계 3.4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

단계 3.4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1}{e^{2}}$

단계 3.4.4

$e^{2} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{e^{2}}$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{e^{2}}$

단계 3.5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = e$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}$