기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

단계 1

차분몫 공식을 적용합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

단계 2.1.2

최종 답은 $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ 입니다.

$\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

단계 2.2

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

단계 3

식에 대입합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} - (\frac{3}{x^{3}})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}}}{h}$

단계 4.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{3}{x^{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${(x + h)}^{3} x^{3}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1.3.1

$\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ 에 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.3.2

$\frac{3}{x^{3}}$ 에 $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.3.3

${(x + h)}^{3} x^{3}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.5.1

$3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.5.1.1

$3 x^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 (x^{3}) - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.1.2

$- 3 {(x + h)}^{3}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.1.3

$3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 (x^{3} - {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = x + h$ 입니다.

$\frac{\frac{3 ((x - (x + h)) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3

간단히 합니다.

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단계 4.1.5.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{3 ((x - x - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3.2

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{3 ((0 - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3.3

$0$ 에서 $h$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x \cdot x + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3.5

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3.6

${(x + h)}^{2}$ 을 $(x + h) (x + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + (x + h) (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3.7

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + h) (x + h)$ 를 전개합니다.

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단계 4.1.5.3.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x (x + h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x \cdot x + x (h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3.7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3.8

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1.5.3.8.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.5.3.8.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3.8.1.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3.8.2

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

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단계 4.1.5.3.8.2.1

$h$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3.8.2.2

$x h$ 를 $x h$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3.9

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{3 (- h (2 x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3.10

$2 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + x h + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.3.11

$x h$ 를 $2 x h$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.4

지수를 묶습니다.

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단계 4.1.5.4.1

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{- (3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.5.4.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{- 3 (h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.1

$- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.2

$- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

단계 4.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

단계 5