기초 미적분 예제

$V (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

단계 1

차분몫 공식을 적용합니다.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = r + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식에서 변수 $r$ 에 $r + h$ 을 대입합니다.

$V (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π {(r + h)}^{3})$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

이항정리 이용

$V (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}))$

단계 2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$V (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π (3 r^{2} h) + π (3 r h^{2}) + π h^{3})$

단계 2.1.2.3

괄호를 제거합니다.

$V (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π \cdot (3 r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

단계 2.1.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.4.1

$π$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$V (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 \cdot (π r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

단계 2.1.2.4.2

$π$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$V (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 π r^{2} h + 3 π r h^{2} + π h^{3})$

단계 2.1.2.5

분배 법칙을 적용합니다.

$V (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3}) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

단계 2.1.2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.6.1

$\frac{4}{3} (π r^{3})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.6.1.1

$π$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$V (r + h) = \frac{π \cdot 4}{3} r^{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

단계 2.1.2.6.1.2

$\frac{π \cdot 4}{3}$ 와 $r^{3}$ 을 묶습니다.

$V (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

단계 2.1.2.6.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.6.2.1

$3 π r^{2} h$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

단계 2.1.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$V (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

단계 2.1.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

단계 2.1.2.6.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.6.3.1

$3 π r h^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

단계 2.1.2.6.3.2

공약수로 약분합니다.

$V (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

단계 2.1.2.6.3.3

수식을 다시 씁니다.

$V (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

단계 2.1.2.6.4

$\frac{4}{3} (π h^{3})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.6.4.1

$π$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$V (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot 4}{3} h^{3}$

단계 2.1.2.6.4.2

$\frac{π \cdot 4}{3}$ 와 $h^{3}$ 을 묶습니다.

$V (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

단계 2.1.2.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.7.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$V (r + h) = \frac{4 \cdot (π r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

단계 2.1.2.7.2

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$V (r + h) = \frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

단계 2.1.2.8

최종 답은 $\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$ 입니다.

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

단계 2.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$r^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

단계 2.2.2

$r$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3}$

단계 2.2.3

$\frac{4 π r^{3}}{3}$ 를 옮깁니다.

$4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

단계 2.2.4

$4 π h r^{2}$ 를 옮깁니다.

$4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

단계 2.2.5

$4 π h^{2} r$ 와 $\frac{4 π h^{3}}{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

단계 2.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$V (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$V (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$V (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$V (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

단계 3

식에 대입합니다.

$\frac{V (r + h) - V r}{h} = \frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{4 π r^{3}}{3}$ 에서 $\frac{4 π r^{3}}{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + 0}{h}$

단계 4.1.2

$\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

단계 4.1.3

$\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ 에서 $4 π h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$\frac{4 π h^{3}}{3}$ 에서 $4 π h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

단계 4.1.3.2

$4 π h^{2} r$ 에서 $4 π h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

단계 4.1.3.3

$4 π h r^{2}$ 에서 $4 π h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

단계 4.1.3.4

$4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r)$ 에서 $4 π h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

단계 4.1.3.5

$4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}$ 에서 $4 π h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r + r^{2})}{h}$

단계 4.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $h r$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r \cdot \frac{3}{3} + r^{2})}{h}$

단계 4.1.5

$h r$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + \frac{h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

단계 4.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 π h (\frac{h^{2} + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

단계 4.1.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.7.1

$h^{2} + h r \cdot 3$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.7.1.1

$h^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 π h (\frac{h \cdot h + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

단계 4.1.7.1.2

$h r \cdot 3$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 π h (\frac{h (h) + h (r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

단계 4.1.7.1.3

$h (h) + h (r \cdot 3)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 π h (\frac{h (h + r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

단계 4.1.7.2

$r$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2})}{h}$

단계 4.1.8

공통 분모를 가지는 분수로 $r^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2} \cdot \frac{3}{3})}{h}$

단계 4.1.9

$r^{2}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + \frac{r^{2} \cdot 3}{3})}{h}$

단계 4.1.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 π h \frac{h (h + 3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

단계 4.1.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 π h \frac{h (h) + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

단계 4.1.11.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

단계 4.1.11.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

단계 4.1.11.4

$r^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}}{h}$

단계 4.1.12

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.12.1

$4$ 와 $\frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{π h \frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

단계 4.1.12.2

$π$ 와 $\frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{h \frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}}{h}$

단계 4.1.12.3

$h$ 와 $\frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{h (π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})))}{3}}{h}$

단계 4.1.13

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{\frac{h π \cdot 4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

단계 4.1.14

$h π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3

조합합니다.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

단계 4.4

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

단계 4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3}$

단계 4.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$

단계 5