기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{- 1}{x^{2} - 36}$

단계 1

차분몫 공식을 적용합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

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단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 36}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.1.1

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 6^{2}}$

단계 2.1.2.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x + h$ 이고 $b = 6$ 입니다.

$f (x + h) = \frac{- 1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

단계 2.1.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

단계 2.1.2.3

최종 답은 $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ 입니다.

$- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

단계 2.2

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

단계 3

식에 대입합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} - (- \frac{1}{(x + 6) (x - 6)})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$- - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + 1 \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.1.2

$\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

단계 4.1.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + h + 6) (x + h - 6) (x + 6) (x - 6)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1.4.1

$\frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ 에 $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

단계 4.1.4.2

$\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ 에 $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

단계 4.1.4.3

$(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

단계 4.1.4.4

$(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{- (x + 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{(- x - 1 \cdot 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.2

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{(- x - 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x - 6) (x - 6)$ 를 전개합니다.

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단계 4.1.6.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{- x (x - 6) - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1.6.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.6.4.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.6.4.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.4.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.4.1.2

$- 6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.4.1.3

$- 6$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.4.2

$6 x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 0 + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.4.3

$- x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.5

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x + h + 6) (x + h - 6)$ 를 전개합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.6

$x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.6.1

인수가 항 $x \cdot - 6$ 과(와) $6 x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h - 6 x + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.6.2

$- 6 x$ 를 $6 x$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 0 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.6.3

$x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.6.4

인수가 항 $h \cdot - 6$ 과(와) $6 h$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 6 h + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.6.5

$- 6 h$ 를 $6 h$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 0 + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.6.6

$x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.7.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.7.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.7.3

$6$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.8

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

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단계 4.1.6.8.1

$h$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.8.2

$x h$ 를 $x h$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.9

$- x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{0 + 36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.10

$0$ 를 $36$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.11

$36$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{2 x h + h^{2} + 0}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.12

$2 x h + h^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{2 x h + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.13

$2 x h + h^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.13.1

$2 x h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.13.2

$h^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.1.6.13.3

$h (2 x) + h (h)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x + h}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}$

단계 5