기초 미적분 예제

$f (x) = 6 e^{x}$ , $[- 3, 3]$

단계 1

$f (x) = 6 e^{x}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 6 e^{x}$

단계 2

평균변화율 공식을 사용하여 대입합니다.

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단계 2.1

함수의 평균변화율은 두 점의 $y$ 값의 변화량을 두 점의 $x$ 값의 변화량으로 나누어 구합니다.

$\frac{f (3) - f (- 3)}{(3) - (- 3)}$

단계 2.2

$f (3)$ 과 $f (- 3)$ 에 대하여 수식 $y = 6 e^{x}$ 의 $x$ 에 각각 해당하는 $x$ 값을 대입합니다.

$\frac{(6 e^{3}) - (6 e^{- 3})}{(3) - (- 3)}$

단계 3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{6 e^{3} - 6 e^{- 3}}{3 - (- 3)}$

단계 3.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{6 e^{3} - 6 \frac{1}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

단계 3.1.3

$- 6$ 와 $\frac{1}{e^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 e^{3} + \frac{- 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

단계 3.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{6 e^{3} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

단계 3.1.5

공통 분모를 가지는 분수로 $6 e^{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3}}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

단계 3.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

단계 3.1.7

지수를 더하여 $e^{3}$ 에 $e^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.7.1

$e^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{6 (e^{3} e^{3}) - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

단계 3.1.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{6 e^{3 + 3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

단계 3.1.7.3

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

단계 3.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 + 3}$

단계 3.2.2

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{6}$

단계 3.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}} \cdot \frac{1}{6}$

단계 3.4

항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}$ 에 $\frac{1}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3} \cdot 6}$

단계 3.4.2

$6 e^{6} - 6$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.2.1

$6 e^{6}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 (e^{6}) - 6}{e^{3} \cdot 6}$

단계 3.4.2.2

$- 6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 (e^{6}) + 6 \cdot - 1}{e^{3} \cdot 6}$

단계 3.4.2.3

$6 (e^{6}) + 6 (- 1)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{e^{3} \cdot 6}$

단계 3.4.2.4

공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.2.4.1

$e^{3} \cdot 6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

단계 3.4.2.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

단계 3.4.2.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{6} - 1}{e^{3}}$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$e^{6}$ 을 ${(e^{2})}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1}{e^{3}}$

단계 3.5.2

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1^{3}}{e^{3}}$

단계 3.5.3

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = e^{2}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(e^{2} - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

단계 3.5.4

간단히 합니다.

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단계 3.5.4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(e^{2} - 1^{2}) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

단계 3.5.4.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = e$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

단계 3.5.4.3

$e^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

단계 3.5.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.5.1

${(e^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.5.5.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{2 \cdot 2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

단계 3.5.5.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

단계 3.5.5.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1)}{e^{3}}$