기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{- x^{2}}{x^{3} - x^{2}}$

단계 1

차분몫 공식을 적용합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

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단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

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단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.1

${(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}$ 에서 ${(x + h)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.2.1.1

${(x + h)}^{3}$ 에서 ${(x + h)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) - {(x + h)}^{2}}$

단계 2.1.2.1.2

$- {(x + h)}^{2}$ 에서 ${(x + h)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1}$

단계 2.1.2.1.3

${(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1$ 에서 ${(x + h)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

단계 2.1.2.2

${(x + h)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

단계 2.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x + h) = \frac{- 1}{x + h - 1}$

단계 2.1.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

단계 2.1.2.4

최종 답은 $- \frac{1}{x + h - 1}$ 입니다.

$- \frac{1}{x + h - 1}$

단계 2.2

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

단계 3

식에 대입합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{x + h - 1} - (- \frac{1}{x - 1})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$- - \frac{1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + 1 \frac{1}{x - 1}}{h}$

단계 4.1.1.2

$\frac{1}{x - 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

단계 4.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{x + h - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

단계 4.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

단계 4.1.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + h - 1) (x - 1)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1.4.1

$\frac{1}{x + h - 1}$ 에 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

단계 4.1.4.2

$\frac{1}{x - 1}$ 에 $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

단계 4.1.4.3

$(x - 1) (x + h - 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

단계 4.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

단계 4.1.6

인수분해된 형태로 $\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}$ 를 다시 씁니다.

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단계 4.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{- x - - 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

단계 4.1.6.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{- x + 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

단계 4.1.6.3

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{0 + 1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

단계 4.1.6.4

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

단계 4.1.6.5

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

단계 4.1.6.6

$h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

단계 4.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

단계 5