기초 미적분 예제

$\frac{1}{8} x^{3} - x^{2}$

단계 1

$\frac{1}{8} x^{3} - x^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{1}{8} x^{3} - x^{2}$

단계 2

차분몫 공식을 적용합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 3

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{8} \cdot {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

이항정리 이용

$f (x + h) = \frac{1}{8} \cdot (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - {(x + h)}^{2}$

단계 3.1.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{1}{8} x^{3} + \frac{1}{8} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

단계 3.1.2.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.3.1

$\frac{1}{8}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{1}{8} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

단계 3.1.2.1.3.2

$\frac{1}{8} (3 x^{2} h)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.3.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3}{8} \cdot (x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

단계 3.1.2.1.3.2.2

$x^{2}$ 와 $\frac{3}{8}$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot 3}{8} \cdot h + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

단계 3.1.2.1.3.2.3

$\frac{x^{2} \cdot 3}{8}$ 와 $h$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

단계 3.1.2.1.3.3

$\frac{1}{8} (3 x h^{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.3.3.1

$3$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{3}{8} \cdot (x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

단계 3.1.2.1.3.3.2

$x$ 와 $\frac{3}{8}$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot 3}{8} \cdot h^{2} + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

단계 3.1.2.1.3.3.3

$\frac{x \cdot 3}{8}$ 와 $h^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

단계 3.1.2.1.3.4

$\frac{1}{8}$ 와 $h^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

단계 3.1.2.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.4.1

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (x^{2} h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

단계 3.1.2.1.4.2

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

단계 3.1.2.1.5

${(x + h)}^{2}$ 을 $(x + h) (x + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - ((x + h) (x + h))$

단계 3.1.2.1.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + h) (x + h)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x (x + h) + h (x + h))$

단계 3.1.2.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

단계 3.1.2.1.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

단계 3.1.2.1.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.7.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

단계 3.1.2.1.7.1.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

단계 3.1.2.1.7.2

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.7.2.1

$x$ 와 $h$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

단계 3.1.2.1.7.2.2

$h x$ 를 $h x$ 에 더합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

단계 3.1.2.1.8

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

단계 3.1.2.1.9

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

단계 3.1.2.2

최종 답은 $\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$ 입니다.

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

단계 3.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

단계 3.2.2

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

단계 3.2.3

$- x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - 2 h x - h^{2} - x^{2}$

단계 3.2.4

$- 2 h x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

단계 3.2.5

$\frac{x^{3}}{8}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

단계 3.2.6

$\frac{3 h x^{2}}{8}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

단계 3.2.7

$\frac{3 h^{2} x}{8}$ 와 $\frac{h^{3}}{8}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

단계 3.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{8} - x^{2}$

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{8} - x^{2}$

단계 4

식에 대입합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - (\frac{x^{3}}{8} - x^{2})}{h}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} - - x^{2}}{h}$

단계 5.1.2

$- - x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} + 1 x^{2}}{h}$

단계 5.1.2.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} + x^{2}}{h}$

단계 5.1.3

$\frac{x^{3}}{8}$ 에서 $\frac{x^{3}}{8}$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 0 + x^{2}}{h}$

단계 5.1.4

$\frac{h^{3}}{8}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + x^{2}}{h}$

단계 5.1.5

$- x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x + 0}{h}$

단계 5.1.6

$\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{h^{3} + 3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.8

$h^{3} + 3 h^{2} x$ 에서 $h^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.8.1

$h^{3}$ 에서 $h^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h^{2} h + 3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.8.2

$3 h^{2} x$ 에서 $h^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h^{2} h + h^{2} (3 x)}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.8.3

$h^{2} h + h^{2} (3 x)$ 에서 $h^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{h^{2} (h + 3 x) + 3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.10.1

$h^{2} (h + 3 x) + 3 h x^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.10.1.1

$h^{2} (h + 3 x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + 3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.10.1.2

$3 h x^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.10.1.3

$h (h (h + 3 x)) + h (3 x^{2})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{h (h (h) + h (3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.10.3

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{h (h^{2} + h (3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.10.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.11

공통 분모를 가지는 분수로 $- h^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} - h^{2} \cdot \frac{8}{8} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.12

$- h^{2}$ 와 $\frac{8}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} + \frac{- h^{2} \cdot 8}{8} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 8}{8} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.14.1

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 8$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.14.1.1

$- h^{2} \cdot 8$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 8)}{8} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.14.1.2

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 8)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h \cdot 8)}{8} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.14.2

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} - 2 h x}{h}$

단계 5.1.15

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2 h x$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} - 2 h x \cdot \frac{8}{8}}{h}$

단계 5.1.16

$- 2 h x$ 와 $\frac{8}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} + \frac{- 2 h x \cdot 8}{8}}{h}$

단계 5.1.17

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) - 2 h x \cdot 8}{8}}{h}$

단계 5.1.18

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.18.1

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) - 2 h x \cdot 8$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.18.1.1

$- 2 h x \cdot 8$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) + h (- 2 x \cdot 8)}{8}}{h}$

단계 5.1.18.1.2

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) + h (- 2 x \cdot 8)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 2 x \cdot 8)}{8}}{h}$

단계 5.1.18.2

$8$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x)}{8}}{h}$

단계 5.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x)}{8} \cdot \frac{1}{h}$

단계 5.3

조합합니다.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8 h}$

단계 5.4

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8 h}$

단계 5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8}$

단계 5.5

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x}{8}$

단계 6