기초 미적분 예제

Given the function $h (x) = - x^{2} + x + 4$ , determine the average rate of change of the function over the interval $- 1 \leq x \leq 5$

단계 1

$h (x) = - x^{2} + x + 4$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = - x^{2} + x + 4$

단계 2

평균변화율 공식을 사용하여 대입합니다.

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단계 2.1

함수의 평균변화율은 두 점의 $y$ 값의 변화량을 두 점의 $x$ 값의 변화량으로 나누어 구합니다.

$\frac{f (5) - f (- 1)}{(5) - (- 1)}$

단계 2.2

$f (5)$ 과 $f (- 1)$ 에 대하여 수식 $y = - x^{2} + x + 4$ 의 $x$ 에 각각 해당하는 $x$ 값을 대입합니다.

$\frac{- {(5)}^{2} + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{(5) - (- 1)}$

단계 3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

괄호를 제거합니다.

$\frac{- {(5)}^{2} + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{(5) - (- 1)}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{- 1 \cdot 25 + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

단계 3.2.2

$- 1$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$\frac{- 25 + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

단계 3.2.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1

지수를 더하여 $- 1$ 에 ${(- 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.3.1.1

$- 1$ 에 ${(- 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.3.1.1.1

$- 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 25 + 5 + 4 - ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

단계 3.2.3.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 25 + 5 + 4 - ({(- 1)}^{1 + 2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

단계 3.2.3.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 25 + 5 + 4 - ({(- 1)}^{3} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

단계 3.2.3.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{- 25 + 5 + 4 - (- 1 - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

단계 3.2.4

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 25 + 5 + 4 - (- 2 + 4)}{5 - (- 1)}$

단계 3.2.5

$- 2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{- 25 + 5 + 4 - 1 \cdot 2}{5 - (- 1)}$

단계 3.2.6

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 25 + 5 + 4 - 2}{5 - (- 1)}$

단계 3.2.7

$- 25$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{- 20 + 4 - 2}{5 - (- 1)}$

단계 3.2.8

$- 20$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{- 16 - 2}{5 - (- 1)}$

단계 3.2.9

$- 16$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{- 18}{5 - (- 1)}$

단계 3.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 18}{5 + 1}$

단계 3.3.2

$5$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 18}{6}$

단계 3.4

$- 18$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$- 3$