기초 미적분 예제

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$

단계 1

차분몫 공식을 적용합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 1$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 1$

단계 2.1.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

이항정리 이용

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 1$

단계 2.1.2.2.2

${(x + h)}^{2}$ 을 $(x + h) (x + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 ((x + h) (x + h)) + x + h + 1$

단계 2.1.2.2.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + h) (x + h)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h + 1$

단계 2.1.2.2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h + 1$

단계 2.1.2.2.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 1$

단계 2.1.2.2.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.4.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 1$

단계 2.1.2.2.4.1.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 1$

단계 2.1.2.2.4.2

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.4.2.1

$x$ 와 $h$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h + 1$

단계 2.1.2.2.4.2.2

$h x$ 를 $h x$ 에 더합니다.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 1$

단계 2.1.2.2.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 2 (2 h x) - 2 h^{2} + x + h + 1$

단계 2.1.2.2.6

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

단계 2.1.2.3

최종 답은 $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$ 입니다.

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

단계 2.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

단계 2.2.2

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

단계 2.2.3

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + h + x + 1$

단계 2.2.4

$- 2 x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 4 h x - 2 h^{2} - 2 x^{2} + h + x + 1$

단계 2.2.5

$- 4 h x$ 를 옮깁니다.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

단계 2.2.6

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

단계 2.2.7

$3 h x^{2}$ 를 옮깁니다.

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

단계 2.2.8

$3 h^{2} x$ 와 $h^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

단계 2.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$

단계 3

식에 대입합니다.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - (x^{3} - 2 x^{2} + x + 1)}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - 1 \cdot 1}{h}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - x^{3} + 2 x^{2} - x - 1 \cdot 1}{h}$

단계 4.1.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - x^{3} + 2 x^{2} - x - 1}{h}$

단계 4.1.3

$x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 + 0 + 2 x^{2} - x - 1}{h}$

단계 4.1.4

$h^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 + 2 x^{2} - x - 1}{h}$

단계 4.1.5

$- 2 x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + x + 1 + 0 - x - 1}{h}$

단계 4.1.6

$h^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + x + 1 - x - 1}{h}$

단계 4.1.7

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + 0 + 1 - 1}{h}$

단계 4.1.8

$h^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + 1 - 1}{h}$

단계 4.1.9

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + 0}{h}$

단계 4.1.10

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

단계 4.1.11

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.11.1

$h^{3}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

단계 4.1.11.2

$3 h^{2} x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

단계 4.1.11.3

$3 h x^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

단계 4.1.11.4

$- 2 h^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) - 4 h x + h}{h}$

단계 4.1.11.5

$- 4 h x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h}{h}$

단계 4.1.11.6

$h$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h^{1}}{h}$

단계 4.1.11.7

$h^{1}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

단계 4.1.11.8

$h (h^{2}) + h (3 h x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

단계 4.1.11.9

$h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

단계 4.1.11.10

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 2 h)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

단계 4.1.11.11

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h) + h (- 4 x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x) + h \cdot 1}{h}$

단계 4.1.11.12

$h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x) + h \cdot 1$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1)}{h}$

단계 4.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1)}{h}$

단계 4.2.1.2

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1$

단계 4.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$h$ 를 옮깁니다.

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1$

단계 4.2.2.2

$- 2 h$ 를 옮깁니다.

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 4 x - 2 h + 1$

단계 4.2.2.3

$h^{2}$ 를 옮깁니다.

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 4 x - 2 h + 1$

단계 4.2.2.4

$3 x h$ 와 $3 x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 4 x - 2 h + 1$

단계 5