기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

단계 1

$f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{x^{5} - 6}{9}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{y^{5} - 6}{9}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{y^{5} - 6}{9} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{5} - 6}{9} = x$

단계 3.2

방정식의 양변에 $9$ 을 곱합니다.

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

단계 3.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

단계 3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{5} - 6 = 9 x$

단계 3.4

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$y^{5} = 9 x + 6$

단계 3.5

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[5]{9 x + 6}$

단계 3.6

$9 x + 6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$9 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 6}$

단계 3.6.2

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 3 (2)}$

단계 3.6.3

$3 (3 x) + 3 (2)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ 가 $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{9}) + 2)}$

단계 5.2.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 (3)}) + 2)}$

단계 5.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 \cdot 3}) + 2)}$

단계 5.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2)}$

단계 5.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})}$

단계 5.2.5

$2$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})}$

단계 5.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6 + 2 \cdot 3}{3})}$

단계 5.2.7

항을 다시 정렬합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3})}$

단계 5.2.8

인수분해된 형태로 $\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.8.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 6 - 6}{3})}$

단계 5.2.8.2

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 0}{3})}$

단계 5.2.8.3

$x^{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3})}$

단계 5.2.9

$3$ 와 $\frac{x^{5}}{3}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

단계 5.2.10

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.10.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{3 x^{5}}{3}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.10.1.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

단계 5.2.10.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

단계 5.2.10.2

$x^{5}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

단계 5.2.11

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})$ 값을 계산합니다.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})}^{5} - 6}{9}$

단계 5.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ 을(를) ${(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 6}{9}$

단계 5.3.3.2

${({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

단계 5.3.3.2.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

단계 5.3.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x + 2)) - 6}{9}$

단계 5.3.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x) + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

단계 5.3.3.4

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

단계 5.3.3.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 6) - 6}{9}$

단계 5.3.3.6

간단히 합니다.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 6 - 6}{9}$

단계 5.3.3.7

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 0}{9}$

단계 5.3.3.8

$9 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

단계 5.3.4

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

단계 5.3.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ 은 $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$