기초 미적분 예제

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$

단계 1

식 $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = - 1, x = 1$

단계 2

왼쪽에서 $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 1$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 1$ 이므로 $x = - 1$ 는 수직점근선입니다.

$x = - 1$

단계 3

왼쪽에서 $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $1$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $1$ 이므로 $x = 1$ 는 수직점근선입니다.

$x = 1$

단계 4

모든 수직점근선을 나열하기:

$x = - 1, 1$

단계 5

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 6

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 3$

$m = 2$

단계 7

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 8

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$2 x^{3} + 2 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x}{x^{2} - 1}$

단계 8.1.1.2

$2 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}{x^{2} - 1}$

단계 8.1.1.3

$2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} - 1}$

단계 8.1.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} - 1^{2}}$

단계 8.1.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{2 x (x^{2} + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 8.2

$2 x (x^{2} + 1)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 8.2.2

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x \cdot x^{2} + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 8.2.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 8.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 8.2.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 8.2.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 8.3

$(x + 1) (x - 1)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x (x - 1) + 1 (x - 1)}$

단계 8.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}$

단계 8.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

단계 8.3.4

$x$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

단계 8.3.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

단계 8.3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

단계 8.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

단계 8.3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

단계 8.3.9

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}$

단계 8.3.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1 x + x - 1}$

단계 8.3.11

$- 1 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} + 0 - 1}$

단계 8.3.12

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$

단계 8.4

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

단계 8.5

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

단계 8.6

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

단계 8.7

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} + 0 - 2 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

단계 8.8

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

$4 x$

단계 8.9

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

$4 x$

$0$

단계 8.10

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$2 x + \frac{4 x}{x^{2} - 1}$

단계 8.11

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = 2 x$

단계 9

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - 1, 1$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = 2 x$

단계 10