기초 미적분 예제

$r (t) = \frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$

단계 1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$t^{3} + 6 t^{2} + t = 0$

단계 2

$t$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$t^{3} + 6 t^{2} + t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$t^{3}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$t \cdot t^{2} + 6 t^{2} + t = 0$

단계 2.1.2

$6 t^{2}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

단계 2.1.3

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

단계 2.1.4

$t^{1}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t \cdot 1 = 0$

단계 2.1.5

$t \cdot t^{2} + t (6 t)$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1 = 0$

단계 2.1.6

$t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$t = 0$

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

단계 2.3

$t$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$t = 0$

단계 2.4

$t^{2} + 6 t + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $t$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$t^{2} + 6 t + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

단계 2.4.2

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$ 을 $t$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.4.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 6$ , $c = 1$ 을 대입하여 $t$ 를 구합니다.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.3.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.3

$36$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.4

$32$ 을 $4^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.3.1.4.1

$32$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.4.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

단계 2.4.2.3.3

$\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

단계 2.4.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.4.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.4.1.3

$36$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.4.1.4

$32$ 을 $4^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.4.1.4.1

$32$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.4.1.4.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.4.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

단계 2.4.2.4.3

$\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

단계 2.4.2.4.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}$

단계 2.4.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.5.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.5.1.3

$36$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.5.1.4

$32$ 을 $4^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.5.1.4.1

$32$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.5.1.4.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.5.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

단계 2.4.2.5.3

$\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

단계 2.4.2.5.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$t = - 3 - 2 \sqrt{2}$

단계 2.4.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

단계 2.5

$t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$t = 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

단계 3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $t$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 3 - 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 - 2 \sqrt{2}, - 3 + 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 + 2 \sqrt{2}, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${t | t \neq 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}}$

단계 4