기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{1 - x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$1 - x \geq 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

부등식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- x \geq - 1$

단계 2.2

$- x \geq - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- x \geq - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x \leq 1$

단계 3

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$4 x - 2 x^{2} \geq 0$

단계 4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$4 x - 2 x^{2} = 0$

단계 4.2

$4 x - 2 x^{2}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$4 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (2) - 2 x^{2} = 0$

단계 4.2.2

$- 2 x^{2}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (2) + 2 x (- x) = 0$

단계 4.2.3

$2 x (2) + 2 x (- x)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (2 - x) = 0$

단계 4.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$2 - x = 0$

단계 4.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 4.5

$2 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$2 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 - x = 0$

단계 4.5.2

$2 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- x = - 2$

단계 4.5.2.2

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.2.1

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 4.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 4.5.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2}{- 1}$

단계 4.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.2.3.1

$- 2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 4.6

$2 x (2 - x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2$

단계 4.7

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

단계 4.8

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.1.1

$x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 4.8.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$4 (- 2) - 2 {(- 2)}^{2} \geq 0$

단계 4.8.1.3

좌변 $- 16$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 4.8.2

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.2.1

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1$

단계 4.8.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1$ 로 치환합니다.

$4 (1) - 2 {(1)}^{2} \geq 0$

단계 4.8.2.3

좌변 $2$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 4.8.3

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.3.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 4.8.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$4 (4) - 2 {(4)}^{2} \geq 0$

단계 4.8.3.3

좌변 $- 16$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 4.8.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 0$ 거짓

$0 < x < 2$ 참

$x > 2$ 거짓

$x < 0$ 거짓

$0 < x < 2$ 참

$x > 2$ 거짓

단계 4.9

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$0 \leq x \leq 2$

단계 5

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$\sqrt{4 x - 2 x^{2}} = 0$

단계 6

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

단계 6.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ 을(를) ${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 6.2.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 6.2.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(4 x - 2 x^{2})}^{1} = 0^{2}$

단계 6.2.2.1.2

간단히 합니다.

$4 x - 2 x^{2} = 0^{2}$

단계 6.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 x - 2 x^{2} = 0$

단계 6.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$4 u - 2 u^{2} = 0$

단계 6.3.1.2

$4 u - 2 u^{2}$ 에서 $2 u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.2.1

$4 u$ 에서 $2 u$ 를 인수분해합니다.

$2 u (2) - 2 u^{2} = 0$

단계 6.3.1.2.2

$- 2 u^{2}$ 에서 $2 u$ 를 인수분해합니다.

$2 u (2) + 2 u (- u) = 0$

단계 6.3.1.2.3

$2 u (2) + 2 u (- u)$ 에서 $2 u$ 를 인수분해합니다.

$2 u (2 - u) = 0$

단계 6.3.1.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$2 x (2 - x) = 0$

단계 6.3.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$2 - x = 0$

단계 6.3.3

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 6.3.4

$2 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.1

$2 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 - x = 0$

단계 6.3.4.2

$2 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- x = - 2$

단계 6.3.4.2.2

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.2.2.1

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 6.3.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 6.3.4.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2}{- 1}$

단계 6.3.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.4.2.2.3.1

$- 2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 6.3.5

$2 x (2 - x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2$

단계 7

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(0, 1]$

조건제시법:

${x | 0 < x \leq 1}$

단계 8