기초 미적분 예제

$120 + 20 + \frac{10}{3} + \frac{5}{9} + \dots$

단계 1

각 항 사이의 비가 일정하므로 등비수열입니다. 이 경우 수열의 한 항에 $\frac{1}{6}$ 을 곱하면 다음 항이 나옵니다. 즉, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 입니다.

등비수열: $r = \frac{1}{6}$

단계 2

$S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 공식을 이용하여 급수의 합 $S_{n}$ 을 계산합니다. 무한등비급수 $S_{\infty}$ 의 합의 경우, $n$ 이 $\infty$ 에 가까워질 수록 $1 - r^{n}$ 은 $1$ 에 수렴합니다. 따라서 $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 은 $\frac{a}{1 - r}$ 로 수렴합니다.

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

단계 3

$a = 120$ , $r = \frac{1}{6}$ 값을 $S_{\infty}$ 식에 대입합니다.

$S_{\infty} = \frac{120}{1 - \frac{1}{6}}$

단계 4

$S_{\infty}$ 를 구하기 위하여 방정식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$S_{\infty} = \frac{120}{\frac{6}{6} - \frac{1}{6}}$

단계 4.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$S_{\infty} = \frac{120}{\frac{6 - 1}{6}}$

단계 4.1.3

$6$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$S_{\infty} = \frac{120}{\frac{5}{6}}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$S_{\infty} = 120 (\frac{6}{5})$

단계 4.3

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.1

$120$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$S_{\infty} = 5 (24) (\frac{6}{5})$

단계 4.3.2

공약수로 약분합니다.

$S_{\infty} = 5 \cdot (24 (\frac{6}{5}))$

단계 4.3.3

수식을 다시 씁니다.

$S_{\infty} = 24 \cdot 6$

단계 4.4

$24$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$S_{\infty} = 144$