기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ ; find $f^{- 1} (x)$

단계 1

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = x$

단계 3.2

방정식의 양변에 $4$ 을 곱합니다.

$4 \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = 4 x$

단계 3.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = 4 x$

단계 3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt[3]{y - 6} = 4 x$

단계 3.4

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${\sqrt[3]{y - 6}}^{3} = {(4 x)}^{3}$

단계 3.5

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{y - 6}$ 을(를) ${(y - 6)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

단계 3.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(y - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

단계 3.5.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(y - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

단계 3.5.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(y - 6)}^{1} = {(4 x)}^{3}$

단계 3.5.2.1.2

간단히 합니다.

$y - 6 = {(4 x)}^{3}$

단계 3.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

${(4 x)}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1.1

$4 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y - 6 = 4^{3} x^{3}$

단계 3.5.3.1.2

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$y - 6 = 64 x^{3}$

단계 3.6

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$y = 64 x^{3} + 6$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$ 가 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4})}^{3} + 6$

단계 5.2.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x - 6}}^{3}}{4^{3}}) + 6$

단계 5.2.3.2

${\sqrt[3]{x - 6}}^{3}$ 을 $x - 6$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x - 6}$ 을(를) ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}}) + 6$

단계 5.2.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}}) + 6$

단계 5.2.3.2.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{3}}}{4^{3}}) + 6$

단계 5.2.3.2.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{3}}}{4^{3}}) + 6$

단계 5.2.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{4^{3}}) + 6$

단계 5.2.3.2.5

간단히 합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{4^{3}}) + 6$

단계 5.2.3.3

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{64}) + 6$

단계 5.2.3.4

$64$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{64}) + 6$

단계 5.2.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x - 6 + 6$

단계 5.2.4

$x - 6 + 6$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$- 6$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x + 0$

단계 5.2.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (64 x^{3} + 6)$ 값을 계산합니다.

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{(64 x^{3} + 6) - 6}}{4}$

단계 5.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{64 x^{3} + 0}}{4}$

단계 5.3.3.2

$64 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{64 x^{3}}}{4}$

단계 5.3.3.3

$64 x^{3}$ 을 ${(4 x)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{{(4 x)}^{3}}}{4}$

단계 5.3.3.4

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{4 x}{4}$

단계 5.3.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{4 x}{4}$

단계 5.3.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (64 x^{3} + 6) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$ 은 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$