기초 미적분 예제

$g (s) = \sqrt{\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}}$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5} \geq 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$3 x + 4 = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$3 x = - 4$

단계 2.3

$3 x = - 4$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$3 x = - 4$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

단계 2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 4}{3}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{4}{3}$

단계 2.4

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x^{2} = 5$

단계 2.5

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{5}$

단계 2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{5}$

단계 2.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{5}$

단계 2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

단계 2.7

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = - \frac{4}{3}$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

단계 2.8

해를 하나로 합합니다.

$x = - \frac{4}{3}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

단계 2.9

$\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 5 = 0$

단계 2.9.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x^{2} = 5$

단계 2.9.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{5}$

단계 2.9.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{5}$

단계 2.9.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{5}$

단계 2.9.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

단계 2.9.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

단계 2.10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - \sqrt{5}$

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$

$x > \sqrt{5}$

단계 2.11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 2.11.1

$x < - \sqrt{5}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1.1

$x < - \sqrt{5}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 5$

단계 2.11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 5$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (- 5) + 4}{{(- 5)}^{2} - 5} \geq 0$

단계 2.11.1.3

좌변 $- 0.55$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 2.11.2

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.2.1

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 2.11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (- 2) + 4}{{(- 2)}^{2} - 5} \geq 0$

단계 2.11.2.3

좌변 $2$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 2.11.3

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.3.1

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 2.11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (0) + 4}{{(0)}^{2} - 5} \geq 0$

단계 2.11.3.3

좌변 $- 0.8$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 2.11.4

$x > \sqrt{5}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.4.1

$x > \sqrt{5}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 5$

단계 2.11.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $5$ 로 치환합니다.

$\frac{3 (5) + 4}{{(5)}^{2} - 5} \geq 0$

단계 2.11.4.3

좌변 $0.95$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 2.11.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - \sqrt{5}$ 거짓

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ 참

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ 거짓

$x > \sqrt{5}$ 참

$x < - \sqrt{5}$ 거짓

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ 참

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ 거짓

$x > \sqrt{5}$ 참

단계 2.12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- \sqrt{5} < x \leq - \frac{4}{3}$ 또는 $x > \sqrt{5}$

단계 3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 5 = 0$

단계 4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x^{2} = 5$

단계 4.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{5}$

단계 4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{5}$

단계 4.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{5}$

단계 4.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

단계 5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}] \cup (\sqrt{5}, \infty)$

조건제시법:

${x | - \sqrt{5} < x \leq - \frac{4}{3}, x > \sqrt{5}}$

단계 6