기초 미적분 예제

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x + 10)}$

단계 1

식 $\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x + 10)}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = - 10$

단계 2

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 3

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 2$

$m = 1$

단계 4

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 5

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 15 x + 54$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $54$ 이고 합은 $15$ 입니다.

$6, 9$

단계 5.1.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 x + 30}$

단계 5.1.2

$3 x + 30$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x) + 30}$

단계 5.1.2.2

$30$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 x + 3 \cdot 10}$

단계 5.1.2.3

$3 x + 3 \cdot 10$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x + 10)}$

단계 5.2

$(x + 6) (x + 9)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x + 9) + 6 (x + 9)}{3 (x + 10)}$

단계 5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 9 + 6 (x + 9)}{3 (x + 10)}$

단계 5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 9 + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

단계 5.2.4

$x$ 와 $9$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x \cdot x + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

단계 5.2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

단계 5.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

단계 5.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{1 + 1} + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

단계 5.2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

단계 5.2.9

$6$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 9 x + 6 x + 54}{3 (x + 10)}$

단계 5.2.10

$9 x$ 를 $6 x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 15 x + 54}{3 (x + 10)}$

단계 5.3

$3 (x + 10)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 15 x + 54}{3 x + 3 \cdot 10}$

단계 5.3.2

$3$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 15 x + 54}{3 x + 30}$

단계 5.4

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$3 x$

$30$

$x^{2}$

$15 x$

$54$

단계 5.5

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$

단계 5.6

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			+	$x^{2}$	+	$10 x$

단계 5.7

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} + 10 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$

단계 5.8

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$

단계 5.9

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$

단계 5.10

피제수 $5 x$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$

단계 5.11

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$
					+	$5 x$	+	$50$

단계 5.12

식을 피제수에서 빼야 하므로 $5 x + 50$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$
					-	$5 x$	-	$50$

단계 5.13

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$
					-	$5 x$	-	$50$
							+	$4$

단계 5.14

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\frac{x}{3} + \frac{5}{3} + \frac{4}{3 x + 30}$

단계 5.15

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - 10$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

단계 7