기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ ; find $f^{- 1} (x)$

단계 1

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = x$

단계 3.2

방정식의 양변에 $4$ 을 곱합니다.

$4 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = 4 x$

단계 3.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = 4 x$

단계 3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{\frac{1}{2}} = 4 x$

단계 3.4

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $2$ 승합니다.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

단계 3.5

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

단계 3.5.1.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

단계 3.5.1.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{1} = {(4 x)}^{2}$

단계 3.5.1.1.2

간단히 합니다.

$y = {(4 x)}^{2}$

단계 3.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

${(4 x)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

$4 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = 4^{2} x^{2}$

단계 3.5.2.1.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = 16 x^{2}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$ 가 $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 {(\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4})}^{2}$

단계 5.2.3

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}})$

단계 5.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}})$

단계 5.2.4.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}})$

단계 5.2.4.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{4^{2}})$

단계 5.2.4.2

간단히 합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{4^{2}})$

단계 5.2.5

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{16})$

단계 5.2.5.2

$16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{16})$

단계 5.2.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (16 x^{2})$ 값을 계산합니다.

$f (16 x^{2}) = \frac{{(16 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 5.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$16 x^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (16 x^{2}) = \frac{16^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 5.3.3.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (16 x^{2}) = \frac{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 5.3.3.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (16 x^{2}) = \frac{4^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 5.3.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (16 x^{2}) = \frac{4^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 5.3.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 5.3.3.5

지수값을 계산합니다.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

단계 5.3.3.6

${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x^{2 (\frac{1}{2})}}{4}$

단계 5.3.3.6.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x^{2 (\frac{1}{2})}}{4}$

단계 5.3.3.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

단계 5.3.3.7

간단히 합니다.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

단계 5.3.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

단계 5.3.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (16 x^{2}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$ 은 $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$