기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 \geq 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$e^{2 x}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

단계 2.2

$e^{x}$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$u^{2} - u - 2 = 0$

단계 2.3

$u$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - u - 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 2, 1$

단계 2.3.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

단계 2.3.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

단계 2.3.3

$u - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$u - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 2 = 0$

단계 2.3.3.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$u = 2$

단계 2.3.4

$u + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$u + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u + 1 = 0$

단계 2.3.4.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$u = - 1$

단계 2.3.5

$(u - 2) (u + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = 2, - 1$

단계 2.4

$u = e^{x}$ 의 $u$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$2 = e^{x}$

단계 2.5

$2 = e^{x}$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$e^{x} = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{x} = 2$

단계 2.5.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

단계 2.5.3

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{x})$ 을 전개합니다.

$x \ln (e) = \ln (2)$

단계 2.5.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$x \cdot 1 = \ln (2)$

단계 2.5.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \ln (2)$

단계 2.6

$u = e^{x}$ 의 $u$ 에 $- 1$ 를 대입합니다.

$- 1 = e^{x}$

단계 2.7

$- 1 = e^{x}$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$e^{x} = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{x} = - 1$

단계 2.7.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

단계 2.7.3

$\ln (- 1)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.7.4

$e^{x} = - 1$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2.8

방정식이 참이 되게 하는 해를 나열합니다.

$x = \ln (2)$

단계 2.9

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \geq \ln (2)$

단계 3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2} = 0$

단계 4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}^{2} = 0^{2}$

단계 4.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ 을(를) ${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 4.2.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 4.2.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{1} = 0^{2}$

단계 4.2.2.1.2

간단히 합니다.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0^{2}$

단계 4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0$

단계 4.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$e^{2 x}$ 을 ${(e^{x})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

단계 4.3.1.2

$u = e^{x}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $e^{x}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$u^{2} - u - 2 = 0$

단계 4.3.1.3

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - u - 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 2, 1$

단계 4.3.1.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

단계 4.3.1.4

$u$ 를 모두 $e^{x}$ 로 바꿉니다.

$(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$

단계 4.3.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{x} - 2 = 0$

$e^{x} + 1 = 0$

단계 4.3.3

$e^{x} - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$e^{x} - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} - 2 = 0$

단계 4.3.3.2

$e^{x} - 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$e^{x} = 2$

단계 4.3.3.2.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

단계 4.3.3.2.3

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.3.1

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{x})$ 을 전개합니다.

$x \ln (e) = \ln (2)$

단계 4.3.3.2.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$x \cdot 1 = \ln (2)$

단계 4.3.3.2.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \ln (2)$

단계 4.3.4

$e^{x} + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$e^{x} + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} + 1 = 0$

단계 4.3.4.2

$e^{x} + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$e^{x} = - 1$

단계 4.3.4.2.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

단계 4.3.4.2.3

$\ln (- 1)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 4.3.4.2.4

$e^{x} = - 1$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 4.3.5

$(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \ln (2)$

단계 5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(\ln (2), \infty)$

조건제시법:

${x | x > \ln (2)}$

단계 6