기초 미적분 예제

$f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ ; find $f^{- 1} (x)$

단계 1

$f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 2 (x^{7} + 2)$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 2 (y^{7} + 2)$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 (y^{7} + 2) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 (y^{7} + 2) = x$

단계 3.2

$2 (y^{7} + 2) = x$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2 (y^{7} + 2) = x$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

단계 3.2.2.1.2

$y^{7} + 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{7} + 2 = \frac{x}{2}$

단계 3.3

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$y^{7} = \frac{x}{2} - 2$

단계 3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$

단계 3.5

$\sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 3.5.2

$- 2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}}$

단계 3.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 2 \cdot 2}{2}}$

단계 3.5.4

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$

단계 3.5.5

$\sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ 가 $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (2 (x^{7} + 2))$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \frac{\sqrt[7]{(2 (x^{7} + 2)) - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

단계 5.2.3

$\sqrt[7]{2 (x^{7} + 2) - 4}$ 와 $\sqrt[7]{2}$ 을 묶어 하나의 근호로 만듭니다.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) - 4}{2}}$

단계 5.2.4

$2 (x^{7} + 2) - 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2}{2}}$

단계 5.2.4.2

$2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2 - 2)}{2}}$

단계 5.2.5

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 0)}{2}}$

단계 5.2.5.2

$x^{7}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

단계 5.2.6

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{2 x^{7}}{2}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

단계 5.2.6.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

단계 5.2.6.2

$x^{7}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{x^{7}}$

단계 5.2.7

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 ({(\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})}^{7} + 2)$

단계 5.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{\sqrt[7]{x - 4}}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

단계 5.3.3.2

${\sqrt[7]{x - 4}}^{7}$ 을 $x - 4$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[7]{x - 4}$ 을(를) ${(x - 4)}^{\frac{1}{7}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{({(x - 4)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

단계 5.3.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

단계 5.3.3.2.3

$\frac{1}{7}$ 와 $7$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

단계 5.3.3.2.4

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

단계 5.3.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

단계 5.3.3.2.5

간단히 합니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

단계 5.3.3.3

${\sqrt[7]{2}}^{7}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[7]{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{7}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{(2^{\frac{1}{7}})}^{7}} + 2)$

단계 5.3.3.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{1}{7} \cdot 7}} + 2)$

단계 5.3.3.3.3

$\frac{1}{7}$ 와 $7$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

단계 5.3.3.3.4

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

단계 5.3.3.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

단계 5.3.3.3.5

지수값을 계산합니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

단계 5.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

단계 5.3.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

단계 5.3.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 2 \cdot 2}{2})$

단계 5.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 4}{2})$

단계 5.3.6.2

$- 4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x + 0}{2})$

단계 5.3.6.3

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

단계 5.3.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

단계 5.3.7.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ 은 $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$