기초 미적분 예제

$f (x) = \sqrt[5]{x - 1}$ ; find $f^{- 1} (x)$

단계 1

$f (x) = \sqrt[5]{x - 1}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \sqrt[5]{x - 1}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \sqrt[5]{y - 1}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\sqrt[5]{y - 1} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\sqrt[5]{y - 1} = x$

단계 3.2

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 $5$ 승합니다.

${\sqrt[5]{y - 1}}^{5} = x^{5}$

단계 3.3

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[5]{y - 1}$ 을(를) ${(y - 1)}^{\frac{1}{5}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(y - 1)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

${({(y - 1)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

${({(y - 1)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(y - 1)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

단계 3.3.2.1.1.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(y - 1)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

단계 3.3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(y - 1)}^{1} = x^{5}$

단계 3.3.2.1.2

간단히 합니다.

$y - 1 = x^{5}$

단계 3.4

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = x^{5} + 1$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = x^{5} + 1$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = x^{5} + 1$ 가 $f (x) = \sqrt[5]{x - 1}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 1})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 1}) = {(\sqrt[5]{x - 1})}^{5} + 1$

단계 5.2.3

${\sqrt[5]{x - 1}}^{5}$ 을 $x - 1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[5]{x - 1}$ 을(를) ${(x - 1)}^{\frac{1}{5}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 1}) = {({(x - 1)}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 1$

단계 5.2.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 1$

단계 5.2.3.3

$\frac{1}{5}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{5}{5}} + 1$

단계 5.2.3.4

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{5}{5}} + 1$

단계 5.2.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 1}) = (x - 1) + 1$

단계 5.2.3.5

간단히 합니다.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 1}) = x - 1 + 1$

단계 5.2.4

$x - 1 + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 1}) = x + 0$

단계 5.2.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x - 1}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (x^{5} + 1)$ 값을 계산합니다.

$f (x^{5} + 1) = \sqrt[5]{(x^{5} + 1) - 1}$

단계 5.3.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (x^{5} + 1) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

단계 5.3.4

$x^{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (x^{5} + 1) = \sqrt[5]{x^{5}}$

단계 5.3.5

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f (x^{5} + 1) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = x^{5} + 1$ 은 $f (x) = \sqrt[5]{x - 1}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = x^{5} + 1$