기초 미적분 예제

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

단계 1

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

${(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\frac{\sqrt[3]{y}}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{7}}{4^{7}}$

단계 3.1.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

${\sqrt[3]{y}}^{7}$ 을 $\sqrt[3]{y^{7}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{7}}}{4^{7}}$

단계 3.1.2.2

$y^{7}$ 을 ${(y^{2})}^{3} y$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

$y^{6}$ 로 인수분해합니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{6} y}}{4^{7}}$

단계 3.1.2.2.2

$y^{6}$ 을 ${(y^{2})}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{{(y^{2})}^{3} y}}{4^{7}}$

단계 3.1.2.3

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{4^{7}}$

단계 3.1.3

$4$ 를 $7$ 승 합니다.

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384}$

단계 3.2

$\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$

단계 3.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = x$

단계 3.4

방정식의 양변에 $16384$ 을 곱합니다.

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

단계 3.5

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

$16384$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

단계 3.5.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} y^{\frac{1}{3}} = 16384 x$

단계 3.5.1.2

지수를 더하여 $y^{2}$ 에 $y^{\frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y^{2 + \frac{1}{3}} = 16384 x$

단계 3.5.1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

단계 3.5.1.2.3

$2$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

단계 3.5.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} = 16384 x$

단계 3.5.1.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.2.5.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y^{\frac{6 + 1}{3}} = 16384 x$

단계 3.5.1.2.5.2

$6$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y^{\frac{7}{3}} = 16384 x$

단계 3.6

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $\frac{3}{7}$ 승합니다.

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

단계 3.7

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1.1

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

단계 3.7.1.1.1.2

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

단계 3.7.1.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

단계 3.7.1.1.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

단계 3.7.1.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{1} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

단계 3.7.1.1.2

간단히 합니다.

$y = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

단계 3.7.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1

${(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1.1.1

$16384 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = 16384^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

단계 3.7.2.1.1.2

$16384$ 을 $4^{7}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = {(4^{7})}^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

단계 3.7.2.1.1.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

단계 3.7.2.1.2

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

단계 3.7.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y = 4^{3} x^{\frac{3}{7}}$

단계 3.7.2.1.3

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$y = 64 x^{\frac{3}{7}}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ 가 $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$

단계 5.2.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

단계 5.2.3.1.2

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

단계 5.2.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{3}$

단계 5.2.3.2

$\frac{\sqrt[3]{x}}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{4^{3}})$

단계 5.2.4

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}})$

단계 5.2.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

단계 5.2.4.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

단계 5.2.4.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

단계 5.2.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

단계 5.2.4.5

간단히 합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

단계 5.2.5

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

단계 5.2.6

$64$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

단계 5.2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (64 x^{\frac{3}{7}})$ 값을 계산합니다.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{64 x^{\frac{3}{7}}}}{4})}^{7}$

단계 5.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$64 x^{\frac{3}{7}}$ 을 ${(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}}}{4})}^{7}$

단계 5.3.3.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

단계 5.3.4

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

단계 5.3.4.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.1

$x^{\frac{1}{7}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

단계 5.3.4.2.2

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

단계 5.3.4.2.2.2

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

단계 5.3.4.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ 은 $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$