기초 미적분 예제

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y - 400 = 0$

단계 1

쌍곡선 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $400$ 를 더합니다.

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$

단계 1.2

$- 25 x^{2} + 200 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 25$

$b = 200$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{200}{2 \cdot - 25}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$200$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$200$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

단계 1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot - 25$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 (- 25)}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

단계 1.2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{100}{- 25}$

단계 1.2.3.2.2

$100$ 및 $- 25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$100$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{25 (4)}{- 25}$

단계 1.2.3.2.2.2

$\frac{4}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$d = - 1 \cdot 4$

단계 1.2.3.2.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$d = - 4$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{200^{2}}{4 \cdot - 25}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$200$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{40000}{4 \cdot - 25}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $- 25$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{40000}{- 100}$

단계 1.2.4.2.1.3

$40000$ 을 $- 100$ 로 나눕니다.

$e = 0 - - 400$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $- 400$ 을 곱합니다.

$e = 0 + 400$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 를 $400$ 에 더합니다.

$e = 400$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ 에 대입합니다.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$

단계 1.3

$- 25 x^{2} + 200 x$ 를 $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ 로 바꿔 방정식 $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ 에 대입합니다.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400 + 9 y^{2} - 90 y = 400$

단계 1.4

양변에 $400$ 을 더하여 $400$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 y^{2} - 90 y = 400 - 400$

단계 1.5

$9 y^{2} - 90 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

단계 1.5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

단계 1.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$- 90$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

$- 90$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

단계 1.5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.2.1

$2 \cdot 9$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

단계 1.5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

단계 1.5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 45}{9}$

단계 1.5.3.2.2

$- 45$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

$- 45$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

단계 1.5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.2.1

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

단계 1.5.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

단계 1.5.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 5}{1}$

단계 1.5.3.2.2.2.4

$- 5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 5$

단계 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

단계 1.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$- 90$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

단계 1.5.4.2.1.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

단계 1.5.4.2.1.3

$8100$ 을 $36$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 225$

단계 1.5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $225$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 225$

단계 1.5.4.2.2

$0$ 에서 $225$ 을 뺍니다.

$e = - 225$

단계 1.5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ 에 대입합니다.

$9 {(y - 5)}^{2} - 225$

단계 1.6

$9 y^{2} - 90 y$ 를 $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ 로 바꿔 방정식 $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ 에 대입합니다.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} - 225 = 400 - 400$

단계 1.7

양변에 $225$ 을 더하여 $- 225$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 400 - 400 + 225$

단계 1.8

$400 - 400 + 225$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$400$ 에서 $400$ 을 뺍니다.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 0 + 225$

단계 1.8.2

$0$ 를 $225$ 에 더합니다.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 225$

단계 1.9

각 항을 $225$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$- \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y - 5)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

단계 1.10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{9} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = 5$

$b = 3$

$k = 5$

$h = 4$

단계 4

쌍곡선이 위아래로 열리는 모양이므로 점근선은 $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ 와 같은 형태를 가집니다.

$y = \pm \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

단계 5

첫 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

괄호를 제거합니다.

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

단계 5.2

$\frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

단계 5.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

단계 5.2.1.3

$\frac{5}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

단계 5.2.1.4

$\frac{5}{3} \cdot - 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.4.1

$\frac{5}{3}$ 와 $- 4$ 을 묶습니다.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 4}{3} + 5$

단계 5.2.1.4.2

$5$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20}{3} + 5$

단계 5.2.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5$

단계 5.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

단계 5.2.3

$5$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

단계 5.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 5 \cdot 3}{3}$

단계 5.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 15}{3}$

단계 5.2.5.2

$- 20$ 를 $15$ 에 더합니다.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

단계 5.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

단계 6

두 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

단계 6.2

$- \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

단계 6.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

단계 6.2.1.3

$x$ 와 $\frac{5}{3}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

단계 6.2.1.4

$- \frac{5}{3} \cdot - 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.4.1

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3}) + 5$

단계 6.2.1.4.2

$4$ 와 $\frac{5}{3}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3} + 5$

단계 6.2.1.4.3

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3} + 5$

단계 6.2.1.5

$x$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5$

단계 6.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

단계 6.2.3

$5$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

단계 6.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 5 \cdot 3}{3}$

단계 6.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.5.1

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 15}{3}$

단계 6.2.5.2

$20$ 를 $15$ 에 더합니다.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

단계 7

이 쌍곡선은 두 개의 점근선을 갖습니다.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

단계 8

점근선은 $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$ , $y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$ 입니다.

점근선: $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

단계 9