기초 미적분 예제

$f (x) = 5 \sqrt{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

단계 1

$f (x) = 5 \sqrt{x}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 5 \sqrt{x}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 5 \sqrt{y}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$5 \sqrt{y} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$5 \sqrt{y} = x$

단계 3.2

$5 \sqrt{y} = x$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$5 \sqrt{y} = x$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

단계 3.2.2.1.2

$\sqrt{y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sqrt{y} = \frac{x}{5}$

단계 3.3

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{y}}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

단계 3.4

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

단계 3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

단계 3.4.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

단계 3.4.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{1} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

단계 3.4.2.1.2

간단히 합니다.

$y = {(\frac{x}{5})}^{2}$

단계 3.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

${(\frac{x}{5})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.1

$\frac{x}{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{x^{2}}{5^{2}}$

단계 3.4.3.1.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{x^{2}}{25}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ 가 $f (x) = 5 \sqrt{x}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (5 \sqrt{x})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{25}$

단계 5.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$5 \sqrt{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

단계 5.2.3.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

단계 5.2.3.3

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25}$

단계 5.2.3.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25}$

단계 5.2.3.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

단계 5.2.3.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

단계 5.2.3.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

단계 5.2.3.3.5

간단히 합니다.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

단계 5.2.4

$25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

단계 5.2.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{x^{2}}{25})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

단계 5.3.3

괄호를 제거합니다.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

단계 5.3.4

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{5^{2}}}$

단계 5.3.5

$\frac{x^{2}}{5^{2}}$ 을 ${(\frac{x}{5})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2}}$

단계 5.3.6

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

단계 5.3.7

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

단계 5.3.7.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ 은 $f (x) = 5 \sqrt{x}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$