기초 미적분 예제

$f (x) = 8 x^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

단계 1

$f (x) = 8 x^{3}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 8 x^{3}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 8 y^{3}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$8 y^{3} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$8 y^{3} = x$

단계 3.2

$8 y^{3} = x$ 의 각 항을 $8$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$8 y^{3} = x$ 의 각 항을 $8$ 로 나눕니다.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

단계 3.2.2.1.2

$y^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{3} = \frac{x}{8}$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8}}$

단계 3.4

$\sqrt[3]{\frac{x}{8}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\frac{x}{8}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{3} x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$x$ 에서 완전제곱인 $1^{3}$ 인수를 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{8}}$

단계 3.4.1.2

$8$ 에서 완전제곱인 $2^{3}$ 인수를 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}}$

단계 3.4.1.3

분수 $\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} x}$

단계 3.4.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x}$

단계 3.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt[3]{x}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ 가 $f (x) = 8 x^{3}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (8 x^{3})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

단계 5.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$8 x^{3}$ 을 ${(2 x)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

단계 5.2.3.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.2.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{3}$

단계 5.3.3

$\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{2^{3}})$

단계 5.3.4

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

단계 5.3.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

단계 5.3.4.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

단계 5.3.4.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

단계 5.3.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

단계 5.3.4.5

간단히 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

단계 5.3.5

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

단계 5.3.6

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.6.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

단계 5.3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ 은 $f (x) = 8 x^{3}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$