기초 미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x} + 10$ ; find $f^{- 1} (x)$

단계 1

$f (x) = \sqrt{x} + 10$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \sqrt{x} + 10$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \sqrt{y} + 10$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\sqrt{y} + 10 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\sqrt{y} + 10 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $10$ 를 뺍니다.

$\sqrt{y} = x - 10$

단계 3.3

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

단계 3.4

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

단계 3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

단계 3.4.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

단계 3.4.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{1} = {(x - 10)}^{2}$

단계 3.4.2.1.2

간단히 합니다.

$y = {(x - 10)}^{2}$

단계 3.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

${(x - 10)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.1

${(x - 10)}^{2}$ 을 $(x - 10) (x - 10)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = (x - 10) (x - 10)$

단계 3.4.3.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 10) (x - 10)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = x (x - 10) - 10 (x - 10)$

단계 3.4.3.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)$

단계 3.4.3.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

단계 3.4.3.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

단계 3.4.3.1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 10$ 이동하기

$y = x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10$

단계 3.4.3.1.3.1.3

$- 10$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$y = x^{2} - 10 x - 10 x + 100$

단계 3.4.3.1.3.2

$- 10 x$ 에서 $10 x$ 을 뺍니다.

$y = x^{2} - 20 x + 100$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ 가 $f (x) = \sqrt{x} + 10$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\sqrt{x} + 10)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(\sqrt{x} + 10)}^{2} - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

${(\sqrt{x} + 10)}^{2}$ 을 $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = (\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} (\sqrt{x} + 10) + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1.1

$\sqrt{x} \sqrt{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1.1.1

$\sqrt{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.3.1.1.2

$\sqrt{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.3.1.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.3.1.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.3.1.2

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.3.1.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.3.1.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.3.1.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.3.1.2.5

간단히 합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.3.1.3

$\sqrt{x}$ 의 왼쪽으로 $10$ 이동하기

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \cdot \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.3.1.4

$10$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.3.2

$10 \sqrt{x}$ 를 $10 \sqrt{x}$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

단계 5.2.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 20 \cdot 10 + 100$

단계 5.2.3.5

$- 20$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$

단계 5.2.4

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1.1

$20 \sqrt{x}$ 에서 $20 \sqrt{x}$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0 + 100 - 200 + 100$

단계 5.2.4.1.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 100 - 200 + 100$

단계 5.2.4.2

$100$ 에서 $200$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x - 100 + 100$

단계 5.2.4.3

$x - 100 + 100$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.3.1

$- 100$ 를 $100$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0$

단계 5.2.4.3.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (x^{2} - 20 x + 100)$ 값을 계산합니다.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

단계 5.3.3

괄호를 제거합니다.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

단계 5.3.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1.1

$100$ 을 $10^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 10^{2}} + 10$

단계 5.3.4.1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$20 x = 2 \cdot x \cdot 10$

단계 5.3.4.1.3

다항식을 다시 씁니다.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^{2}} + 10$

단계 5.3.4.1.4

$a = x$ 이고 $b = 10$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{{(x - 10)}^{2}} + 10$

단계 5.3.4.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x - 10 + 10$

단계 5.3.5

$x - 10 + 10$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$- 10$ 를 $10$ 에 더합니다.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x + 0$

단계 5.3.5.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ 은 $f (x) = \sqrt{x} + 10$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$