기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

단계 1

식 $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = - 3, x = 3$

단계 2

왼쪽에서 $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 3$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 3$ 이므로 $x = - 3$ 는 수직점근선입니다.

$x = - 3$

단계 3

왼쪽에서 $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $3$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $3$ 이므로 $x = 3$ 는 수직점근선입니다.

$x = 3$

단계 4

모든 수직점근선을 나열하기:

$x = - 3, 3$

단계 5

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 6

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 3$

$m = 2$

단계 7

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 8

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.1

$x^{3} - 2 x^{2} - 8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.1.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

단계 8.1.1.1.2

$- 2 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

단계 8.1.1.1.3

$- 8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 8}{3 x^{2} - 27}$

단계 8.1.1.1.4

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8}{3 x^{2} - 27}$

단계 8.1.1.1.5

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x^{2} - 2 x - 8)}{3 x^{2} - 27}$

단계 8.1.1.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 2 x - 8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 8$ 이고 합은 $- 2$ 입니다.

$- 4, 2$

단계 8.1.1.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{x ((x - 4) (x + 2))}{3 x^{2} - 27}$

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 x^{2} - 27}$

단계 8.1.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.2.1

$3 x^{2} - 27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.2.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x^{2}) - 27}$

단계 8.1.2.1.2

$- 27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 x^{2} + 3 \cdot - 9}$

단계 8.1.2.1.3

$3 x^{2} + 3 \cdot - 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x^{2} - 9)}$

단계 8.1.2.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x^{2} - 3^{2})}$

단계 8.1.2.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2

$x (x - 4) (x + 2)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot - 4) (x + 2)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x (x + 2) + x \cdot (- 4 (x + 2))}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot 2 + x \cdot (- 4 (x + 2))}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot 2 + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.5

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot (2 x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.6

$x$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.7

$x$ 와 $- 4$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.8

$x$ 와 $- 4$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot x \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.9

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.10

$2$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.11

$- 4$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.13

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.14

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{1 + 1} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.15

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.16

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.17

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2 + 1} + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.18

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.19

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} + 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.20

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} + 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.21

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{3} + 2 x^{1 + 1} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.22

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.23

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.24

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.25

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{1 + 1} - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.26

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.27

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 8 x}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.2.28

$2 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 (x + 3) (x - 3)}$

단계 8.3

$3 (x + 3) (x - 3)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{(3 x + 3 \cdot 3) (x - 3)}$

단계 8.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x (x - 3) + 3 \cdot (3 (x - 3))}$

단계 8.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 3 \cdot (3 (x - 3))}$

단계 8.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

단계 8.3.5

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x \cdot x + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

단계 8.3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

단계 8.3.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

단계 8.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{1 + 1} + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

단계 8.3.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

단계 8.3.10

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

단계 8.3.11

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

단계 8.3.12

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 9 x + 9 \cdot - 3}$

단계 8.3.13

$9$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 9 x - 27}$

단계 8.3.14

$- 9 x$ 를 $9 x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} + 0 - 27}$

단계 8.3.15

$0$ 에서 $27$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

단계 8.4

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

단계 8.5

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $3 x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$\frac{x}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

단계 8.6

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$\frac{x}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

단계 8.7

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} + 0 - 9 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$\frac{x}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$

단계 8.8

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$\frac{x}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$2 x^{2}$

$x$

단계 8.9

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

						$\frac{x}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

단계 8.10

피제수 $- 2 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $3 x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

단계 8.11

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$18$

단계 8.12

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x^{2} + 0 + 18$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$18$

단계 8.13

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$18$
									+	$x$	-	$18$

단계 8.14

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\frac{x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{x - 18}{3 x^{2} - 27}$

단계 8.15

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

단계 9

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - 3, 3$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

단계 10