기초 미적분 예제

$f (x) = \sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x \geq 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$2 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (2 x^{2}) - 5 x^{2} - 3 x = 0$

단계 2.2.1.2

$- 5 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) - 3 x = 0$

단계 2.2.1.3

$- 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

단계 2.2.1.4

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

단계 2.2.1.5

$x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ 이고 합이 $b = - 5$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1.1

$- 5 x$ 에서 $- 5$ 를 인수분해합니다.

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

단계 2.2.2.1.1.2

$- 5$ 를 $1$ + $- 6$ 로 다시 씁니다.

$x (2 x^{2} + (1 - 6) x - 3) = 0$

단계 2.2.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x (2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3) = 0$

단계 2.2.2.1.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (2 x^{2} + x - 6 x - 3) = 0$

단계 2.2.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$x ((2 x^{2} + x) - 6 x - 3) = 0$

단계 2.2.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x (x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)) = 0$

단계 2.2.2.1.3

최대공약수 $2 x + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$x ((2 x + 1) (x - 3)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (2 x + 1) (x - 3) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.5

$2 x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$2 x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x + 1 = 0$

단계 2.5.2

$2 x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 x = - 1$

단계 2.5.2.2

$2 x = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1

$2 x = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 2.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{2}$

단계 2.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1}{2}$

단계 2.6

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.6.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.7

$x (2 x + 1) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - \frac{1}{2}, 3$

단계 2.8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

단계 2.9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1

$x < - \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1.1

$x < - \frac{1}{2}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 3$

단계 2.9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 3$ 로 치환합니다.

$2 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 \geq 0$

단계 2.9.1.3

좌변 $- 90$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 2.9.2

$- \frac{1}{2} < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.1

$- \frac{1}{2} < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 0.25$

단계 2.9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 0.25$ 로 치환합니다.

$2 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} - 3 \cdot - 0.25 \geq 0$

단계 2.9.2.3

좌변 $0.40625$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 2.9.3

$0 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.3.1

$0 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 2.9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 \geq 0$

단계 2.9.3.3

좌변 $- 10$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 2.9.4

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.4.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 2.9.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$2 {(6)}^{3} - 5 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 \geq 0$

단계 2.9.4.3

좌변 $234$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 2.9.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - \frac{1}{2}$ 거짓

$- \frac{1}{2} < x < 0$ 참

$0 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

$x < - \frac{1}{2}$ 거짓

$- \frac{1}{2} < x < 0$ 참

$0 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

단계 2.10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- \frac{1}{2} \leq x \leq 0$ 또는 $x \geq 3$

단계 3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[- \frac{1}{2}, 0] \cup [3, \infty)$

조건제시법:

${x | - \frac{1}{2} \leq x \leq 0, x \geq 3}$

단계 4