기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$

단계 1

식 $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}, x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

단계 2

왼쪽에서 $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ 이므로 $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ 는 수직점근선입니다.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

단계 3

왼쪽에서 $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{10}}{5}$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{10}}{5}$ 이므로 $x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ 는 수직점근선입니다.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

단계 4

모든 수직점근선을 나열하기:

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}$

단계 5

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 6

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 3$

$m = 2$

단계 7

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 8

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

단계 8.2

피제수 $10 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $5 x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

단계 8.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$0$

$4 x$

단계 8.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $10 x^{3} + 0 - 4 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$2 x$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$

단계 8.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$0$

$4 x$

$15 x^{2}$

$5 x$

단계 8.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

						$2 x$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

단계 8.7

피제수 $- 15 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $5 x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

단계 8.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
							-	$15 x^{2}$	+	$0$	+	$6$

단계 8.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 15 x^{2} + 0 + 6$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$6$

단계 8.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$6$
									+	$5 x$	-	$7$

단계 8.11

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$2 x - 3 + \frac{5 x - 7}{5 x^{2} - 2}$

단계 8.12

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = 2 x - 3$

단계 9

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = 2 x - 3$

단계 10