기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$

단계 1

식 $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$- 1 \leq x \leq 0$

단계 2

왼쪽에서 $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 1$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- 1$ 이므로 $x = - 1$ 는 수직점근선입니다.

$x = - 1$

단계 3

왼쪽에서 $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $0$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $0$ 이므로 $x = 0$ 는 수직점근선입니다.

$x = 0$

단계 4

모든 수직점근선을 나열하기:

$x = - 1, 0$

단계 5

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x^{2} + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

단계 5.1.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

단계 5.1.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

단계 5.1.4

$x \cdot x + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

단계 5.2

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x = \sqrt{x^{2}}$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

단계 5.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

단계 5.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

단계 5.4.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

단계 5.4.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

단계 5.5

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

단계 5.5.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

단계 5.5.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

단계 5.6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

단계 5.7

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

단계 5.8

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

단계 5.9

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

단계 5.9.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

단계 5.9.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

단계 5.9.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

단계 5.9.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

단계 5.9.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

단계 5.9.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

단계 5.10

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

단계 5.11

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

단계 5.11.2

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.2.1

$1 + 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{1 + 0}}$

단계 5.11.2.2

$- 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 3}{\sqrt{1 + 0}}$

단계 5.11.2.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.2.3.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 3}{\sqrt{1}}$

단계 5.11.2.3.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$\frac{- 3}{1}$

단계 5.11.2.4

$- 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 3$

단계 6

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x^{2} + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

단계 6.1.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

단계 6.1.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

단계 6.1.4

$x \cdot x + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

단계 6.2

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x = - \sqrt{x^{2}}$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

단계 6.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

단계 6.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

단계 6.4.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

단계 6.4.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

단계 6.5

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

단계 6.5.2

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{- lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

단계 6.5.3

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

단계 6.6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

단계 6.7

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{- 3 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

단계 6.7.2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

단계 6.8

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

단계 6.9

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.9.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.9.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

단계 6.9.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

단계 6.9.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.9.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

단계 6.9.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

단계 6.9.3

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

단계 6.9.4

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

단계 6.9.5

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

단계 6.10

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

단계 6.11

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.11.1

$x$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

단계 6.11.2

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.11.2.1

$1 + 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{1 + 0}}$

단계 6.11.2.2

$- 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 3}{- \sqrt{1 + 0}}$

단계 6.11.2.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.11.2.3.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 3}{- \sqrt{1}}$

단계 6.11.2.3.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$\frac{- 3}{- 1 \cdot 1}$

단계 6.11.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3}{- 1}$

단계 6.11.2.5

$- 3$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$3$

단계 7

수평점근선 나열:

$y = - 3, 3$

단계 8

다항식 나눗셈을 통해 사선점근선을 구합니다. 식이 근호를 포함하므로 다항식 나눗셈을 수행할 수 없습니다.

사선점근선을 찾을 수 없음

단계 9

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - 1, 0$

수평점근선: $y = - 3, 3$

사선점근선을 찾을 수 없음

단계 10