기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$

단계 1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2 x^{2} - 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$x^{3} + 1 + 3 x^{2} + 3 x = 0$

단계 2.1.2

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} + 1^{3} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

단계 2.1.3

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

단계 2.1.4

간단히 합니다.

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단계 2.1.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

단계 2.1.4.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

단계 2.1.5

$3 x^{2} + 3 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.5.1

$3 x^{2}$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x = 0$

단계 2.1.5.2

$3 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x (1) = 0$

단계 2.1.5.3

$3 x (x) + 3 x (1)$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1) = 0$

단계 2.1.6

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1)$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.6.1

$3 x (x + 1)$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x) = 0$

단계 2.1.6.2

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x)$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1 + 3 x) = 0$

단계 2.1.7

$- x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$(x + 1) (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

단계 2.1.8

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 2.1.8.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 1) (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

단계 2.1.8.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 2.1.8.3

다항식을 다시 씁니다.

$(x + 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 2.1.8.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(x + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 1 = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

단계 2.3

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 2.4

$(x + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1$

단계 3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq - 1}$

단계 4