기초 미적분 예제

$\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{3 x^{2} - 1}$

단계 1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{3 x^{2} - 1}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$3 x^{2} - 1 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$3 x^{2} = 1$

단계 2.2

$3 x^{2} = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$3 x^{2} = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

단계 2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

단계 2.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

단계 2.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

단계 2.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

단계 2.4.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

단계 2.4.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 2.4.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 2.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 2.4.4.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 2.4.4.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 2.4.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 2.4.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 2.4.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.4.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.4.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.4.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.4.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 2.4.4.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

단계 4