기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

단계 1

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{\sqrt{x}}{5}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{\sqrt{y}}{5}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{\sqrt{y}}{5} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{y}}{5} = x$

단계 3.2

방정식의 양변에 $5$ 을 곱합니다.

$5 \frac{\sqrt{y}}{5} = 5 x$

단계 3.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$5 \frac{\sqrt{y}}{5} = 5 x$

단계 3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{y} = 5 x$

단계 3.4

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{y}}^{2} = {(5 x)}^{2}$

단계 3.5

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 x)}^{2}$

단계 3.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

단계 3.5.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

단계 3.5.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{1} = {(5 x)}^{2}$

단계 3.5.2.1.2

간단히 합니다.

$y = {(5 x)}^{2}$

단계 3.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

${(5 x)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1.1

$5 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = 5^{2} x^{2}$

단계 3.5.3.1.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = 25 x^{2}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$ 가 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 {(\frac{\sqrt{x}}{5})}^{2}$

단계 5.2.3

$\frac{\sqrt{x}}{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{{\sqrt{x}}^{2}}{5^{2}})$

단계 5.2.4

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}})$

단계 5.2.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}})$

단계 5.2.4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{5^{2}})$

단계 5.2.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{5^{2}})$

단계 5.2.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{5^{2}})$

단계 5.2.4.5

간단히 합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{5^{2}})$

단계 5.2.5

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{25})$

단계 5.2.6

$25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{25})$

단계 5.2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (25 x^{2})$ 값을 계산합니다.

$f (25 x^{2}) = \frac{\sqrt{25 x^{2}}}{5}$

단계 5.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$25 x^{2}$ 을 ${(5 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (25 x^{2}) = \frac{\sqrt{{(5 x)}^{2}}}{5}$

단계 5.3.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (25 x^{2}) = \frac{5 x}{5}$

단계 5.3.4

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (25 x^{2}) = \frac{5 x}{5}$

단계 5.3.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (25 x^{2}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$ 은 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$