기초 미적분 예제

$g (x) = \frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$

단계 1

식 $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, x = 1$

단계 2

왼쪽에서 $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 이므로 $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 는 수직점근선입니다.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

단계 3

왼쪽에서 $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 이므로 $x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 는 수직점근선입니다.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

단계 4

왼쪽에서 $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $1$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $1$ 이므로 $x = 1$ 는 수직점근선입니다.

$x = 1$

단계 5

모든 수직점근선을 나열하기:

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 1$

단계 6

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 7

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 5$

$m = 3$

단계 8

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 9

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 9.2

피제수 $5 x^{5}$ 의 고차항을 제수 $x^{3}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 9.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

단계 9.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $5 x^{5} + 0 - 10 x^{3} + 5 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

단계 9.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

단계 9.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 9.7

피제수 $10 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x^{3}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 9.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

단계 9.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $10 x^{3} + 0 - 20 x + 10$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

단계 9.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

$5 x^{2}$

$20 x$

$10$

단계 9.11

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$5 x^{2} + 10 + \frac{- 5 x^{2} + 20 x - 10}{x^{3} - 2 x + 1}$

단계 9.12

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = 5 x^{2} + 10$

단계 10

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 1$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = 5 x^{2} + 10$

단계 11