기초 미적분 예제

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - {(x - 5)}^{2}$

단계 1

방정식을 꼭짓점 형태로 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 좌변에 $y$ 만 남도록 식을 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

${(x - 5)}^{2}$ 을 $(x - 5) (x - 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - ((x - 5) (x - 5))$

단계 1.1.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 5) (x - 5)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x (x - 5) - 5 (x - 5))$

단계 1.1.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))$

단계 1.1.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

단계 1.1.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

단계 1.1.1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)$

단계 1.1.1.3.1.3

$- 5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 x - 5 x + 25)$

단계 1.1.1.3.2

$- 5 x$ 에서 $5 x$ 을 뺍니다.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 10 x + 25)$

단계 1.1.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25$

단계 1.1.1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.5.1

$- 10$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25$

단계 1.1.1.5.2

$- 1$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 25$

단계 1.1.2

항을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$

단계 1.2

$- x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1.1

${(x - 2)}^{2}$ 을 $(x - 2) (x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$- x^{2} + 3 ((x - 2) (x - 2)) + 10 x - 25$

단계 1.2.1.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 2) (x - 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- x^{2} + 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

단계 1.2.1.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

단계 1.2.1.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

단계 1.2.1.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

단계 1.2.1.1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

단계 1.2.1.1.3.1.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 10 x - 25$

단계 1.2.1.1.3.2

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 4 x + 4) + 10 x - 25$

단계 1.2.1.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

단계 1.2.1.1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1.5.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

단계 1.2.1.1.5.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

단계 1.2.1.2

$- x^{2}$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$2 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

단계 1.2.1.3

$- 12 x$ 를 $10 x$ 에 더합니다.

$2 x^{2} - 2 x + 12 - 25$

단계 1.2.1.4

$12$ 에서 $25$ 을 뺍니다.

$2 x^{2} - 2 x - 13$

단계 1.2.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 2$

$b = - 2$

$c = - 13$

단계 1.2.3

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.4

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.4.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.2.1

$2 \cdot 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (2)}$

단계 1.2.4.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.4.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 1}{2}$

단계 1.2.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$d = - \frac{1}{2}$

단계 1.2.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = - 13 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1.1

${(- 2)}^{2}$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1.1.1

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$e = - 13 - \frac{{(- 1 (2))}^{2}}{4 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.1.1.2

$- 1 (2)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e = - 13 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.1.1.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = - 13 - \frac{1 \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.1.1.4

$2^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = - 13 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.1.1.5

$2^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.1.1.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1.1.6.1

$4 \cdot 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

단계 1.2.5.2.1.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

단계 1.2.5.2.1.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

단계 1.2.5.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e = - 13 - \frac{1}{2}$

단계 1.2.5.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 13$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$e = - 13 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

단계 1.2.5.2.3

$- 13$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$e = \frac{- 13 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

단계 1.2.5.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e = \frac{- 13 \cdot 2 - 1}{2}$

단계 1.2.5.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.5.1

$- 13$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e = \frac{- 26 - 1}{2}$

단계 1.2.5.2.5.2

$- 26$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$e = \frac{- 27}{2}$

단계 1.2.5.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e = - \frac{27}{2}$

단계 1.2.6

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$ 에 대입합니다.

$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

단계 1.3

$y$ 를 오른쪽 항과 같다고 놓습니다.

$y = 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

단계 2

표준형인 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 를 사용하여 $a$ , $h$ , $k$ 의 값을 구합니다

$a = 2$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{27}{2}$

단계 3

꼭짓점 $(h, k)$ 를 구합니다.

$(\frac{1}{2}, - \frac{27}{2})$

단계 4