기초 미적분 예제

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

단계 1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = x^{\frac{1}{2}} - 7$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = y^{\frac{1}{2}} - 7$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$

단계 3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$y^{\frac{1}{2}} - x = 7$

단계 3.2.2

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$y^{\frac{1}{2}} = 7 + x$

단계 3.3

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $2$ 승합니다.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(7 + x)}^{2}$

단계 3.4

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

단계 3.4.1.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

단계 3.4.1.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{1} = {(7 + x)}^{2}$

단계 3.4.1.1.2

간단히 합니다.

$y = {(7 + x)}^{2}$

단계 3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

${(7 + x)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

${(7 + x)}^{2}$ 을 $(7 + x) (7 + x)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = (7 + x) (7 + x)$

단계 3.4.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(7 + x) (7 + x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 7 (7 + x) + x (7 + x)$

단계 3.4.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x (7 + x)$

단계 3.4.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

단계 3.4.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.3.1.1

$7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$y = 49 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

단계 3.4.2.1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$y = 49 + 7 x + 7 \cdot x + x \cdot x$

단계 3.4.2.1.3.1.3

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = 49 + 7 x + 7 x + x^{2}$

단계 3.4.2.1.3.2

$7 x$ 를 $7 x$ 에 더합니다.

$y = 49 + 14 x + x^{2}$

단계 3.5

$49 + 14 x + x^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$49$ 를 옮깁니다.

$y = 14 x + x^{2} + 49$

단계 3.5.2

$14 x$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = x^{2} + 14 x + 49$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ 가 $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2} + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

단계 5.2.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2}$ 을 $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = (x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

단계 5.2.3.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 7) - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

단계 5.2.3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

단계 5.2.3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

단계 5.2.3.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1.1

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.3.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

단계 5.2.3.3.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

단계 5.2.3.3.1.1.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

단계 5.2.3.3.1.1.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

단계 5.2.3.3.1.2

$x^{1}$ 을 간단히 합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

단계 5.2.3.3.1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $- 7$ 이동하기

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

단계 5.2.3.3.1.4

$- 7$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

단계 5.2.3.3.2

$- 7 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $7 x^{\frac{1}{2}}$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

단계 5.2.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} + 14 \cdot - 7 + 49$

단계 5.2.3.5

$14$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$

단계 5.2.4

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1.1

$- 14 x^{\frac{1}{2}}$ 를 $14 x^{\frac{1}{2}}$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0 + 49 - 98 + 49$

단계 5.2.4.1.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 49 - 98 + 49$

단계 5.2.4.2

$49$ 에서 $98$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 49 + 49$

단계 5.2.4.3

$x - 49 + 49$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.3.1

$- 49$ 를 $49$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0$

단계 5.2.4.3.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (x^{2} + 14 x + 49)$ 값을 계산합니다.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 49)}^{\frac{1}{2}} - 7$

단계 5.3.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

$49$ 을 $7^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

단계 5.3.3.1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

단계 5.3.3.1.3

다항식을 다시 씁니다.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

단계 5.3.3.1.4

$a = x$ 이고 $b = 7$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {({(x + 7)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

단계 5.3.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

단계 5.3.3.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

단계 5.3.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = (x + 7) - 7$

단계 5.3.3.4

간단히 합니다.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 7 - 7$

단계 5.3.4

$x + 7 - 7$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$7$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 0$

단계 5.3.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ 은 $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$