기초 미적분 예제

$81 + 27 + 9 + \dots + \frac{1}{81}$

단계 1

각 항 사이의 비가 일정하므로 등비수열입니다. 이 경우 수열의 한 항에 $\frac{1}{3}$ 을 곱하면 다음 항이 나옵니다. 즉, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 입니다.

등비수열: $r = \frac{1}{3}$

단계 2

등비수열 공식 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 을 사용하여 항 $n$ 의 수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

첫 번째 항, 마지막 항, 두 항의 비율을 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{81} = 81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

단계 2.2

$n$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$

단계 2.2.2

$81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$81 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

단계 2.2.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$81 \frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

단계 2.2.2.2

$81$ 와 $\frac{1}{3^{n - 1}}$ 을 묶습니다.

$\frac{81}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

단계 2.2.3

양변에 $3^{n - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1.1

$3^{n - 1}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

단계 2.2.4.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$81 = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

단계 2.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.2.1

$\frac{1}{81}$ 와 $3^{n - 1}$ 을 묶습니다.

$81 = \frac{3^{n - 1}}{81}$

단계 2.2.5

$n$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$

단계 2.2.5.2

방정식의 양변에 $81$ 을 곱합니다.

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

단계 2.2.5.3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.1

$81$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

단계 2.2.5.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$3^{n - 1} = 81 \cdot 81$

단계 2.2.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.3.2.1

$81$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$3^{n - 1} = 6561$

단계 2.2.5.4

방정식에서 지수의 밑이 모두 같은 동일한 수식이 되도록 만듭니다.

$3^{n - 1} = 3^{8}$

단계 2.2.5.5

밑이 같으므로 지수가 같을 경우에만 두 식은 같습니다.

$n - 1 = 8$

단계 2.2.5.6

$n$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.6.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$n = 8 + 1$

단계 2.2.5.6.2

$8$ 를 $1$ 에 더합니다.

$n = 9$

단계 3

등비수열 합 공식 $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ 을 사용하여 합을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

첫 번째 항, 비율, 항의 수를 합 공식에 대입합니다.

$S_{n} = \frac{81 ({(\frac{1}{3})}^{9} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1^{9}}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.3

$3$ 를 $9$ 승 합니다.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{19683}{19683}$ 을 곱합니다.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1 \cdot \frac{19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.5

$- 1$ 와 $\frac{19683}{19683}$ 을 묶습니다.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} + \frac{- 1 \cdot 19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 1 \cdot 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.7.1

$- 1$ 에 $19683$ 을 곱합니다.

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.7.2

$1$ 에서 $19683$ 을 뺍니다.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{- 19682}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$S_{n} = \frac{81 \cdot - 1 \frac{19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.9

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.9.1

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$S_{n} = \frac{- (81 (\frac{19682}{19683}))}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.9.2

$81$ 와 $\frac{19682}{19683}$ 을 묶습니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.9.3

$81$ 에 $19682$ 을 곱합니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{1594242}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.10

$1594242$ 및 $19683$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.10.1

$1594242$ 에서 $81$ 를 인수분해합니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{81 (19682)}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.10.2.1

$19683$ 에서 $81$ 를 인수분해합니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.1.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

단계 3.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

단계 3.2.2.2

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

단계 3.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

단계 3.2.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.4.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

단계 3.2.2.4.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

단계 3.2.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{- \frac{2}{3}}$

단계 3.2.3

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$S_{n} = \frac{\frac{19682}{243}}{\frac{2}{3}}$

단계 3.2.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$S_{n} = \frac{19682}{243} \cdot \frac{3}{2}$

단계 3.2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$19682$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$S_{n} = \frac{2 (9841)}{243} \cdot \frac{3}{2}$

단계 3.2.5.2

공약수로 약분합니다.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 9841}{243} \cdot \frac{3}{2}$

단계 3.2.5.3

수식을 다시 씁니다.

$S_{n} = \frac{9841}{243} \cdot 3$

단계 3.2.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.1

$243$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$S_{n} = \frac{9841}{3 (81)} \cdot 3$

단계 3.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$S_{n} = \frac{9841}{3 \cdot 81} \cdot 3$

단계 3.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$S_{n} = \frac{9841}{81}$