기초 미적분 예제

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ ; find $f^{- 1} (x)$

단계 1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = x^{\frac{1}{3}} - 9$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = y^{\frac{1}{3}} - 9$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$y^{\frac{1}{3}} - 9 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y^{\frac{1}{3}} - 9 = x$

단계 3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

방정식의 양변에 $9$ 를 더합니다.

$y^{\frac{1}{3}} - x = 9$

단계 3.2.2

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$y^{\frac{1}{3}} = 9 + x$

단계 3.3

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $3$ 승합니다.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(9 + x)}^{3}$

단계 3.4

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(9 + x)}^{3}$

단계 3.4.1.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(9 + x)}^{3}$

단계 3.4.1.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{1} = {(9 + x)}^{3}$

단계 3.4.1.1.2

간단히 합니다.

$y = {(9 + x)}^{3}$

단계 3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

${(9 + x)}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

이항정리 이용

$y = 9^{3} + 3 \cdot 9^{2} x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

단계 3.4.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.2.1

$9$ 를 $3$ 승 합니다.

$y = 729 + 3 \cdot 9^{2} x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

단계 3.4.2.1.2.2

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = 729 + 3 \cdot 81 x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

단계 3.4.2.1.2.3

$3$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$y = 729 + 243 x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

단계 3.4.2.1.2.4

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$y = 729 + 243 x + 27 x^{2} + x^{3}$

단계 3.5

$729 + 243 x + 27 x^{2} + x^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$729$ 를 옮깁니다.

$y = 243 x + 27 x^{2} + x^{3} + 729$

단계 3.5.2

$243 x$ 를 옮깁니다.

$y = 27 x^{2} + x^{3} + 243 x + 729$

단계 3.5.3

$27 x^{2}$ 와 $x^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$ 가 $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

이항정리 이용

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.2.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

단계 5.2.3.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.2.2

간단히 합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.2.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.2.3.2

$\frac{1}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.2.4

$- 9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.2.5

$- 9$ 를 $2$ 승 합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 81 + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.2.6

$81$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.2.7

$- 9$ 를 $3$ 승 합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.3

${(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2}$ 을 $(x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 ((x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - 9) - 9 (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.5.1.1

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{3}}$ 에 $x^{\frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.5.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.5.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.5.1.1.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.5.1.2

$x^{\frac{1}{3}}$ 의 왼쪽으로 $- 9$ 이동하기

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 9 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.5.1.3

$- 9$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} + 81) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.5.2

$- 9 x^{\frac{1}{3}}$ 에서 $9 x^{\frac{1}{3}}$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 18 x^{\frac{1}{3}} + 81) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} + 27 (- 18 x^{\frac{1}{3}}) + 27 \cdot 81 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.7.1

$- 18$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 27 \cdot 81 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.7.2

$27$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

단계 5.2.3.8

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 \cdot - 9 + 729$

단계 5.2.3.9

$243$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

단계 5.2.4

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1.1

$- 27 x^{\frac{2}{3}}$ 를 $27 x^{\frac{2}{3}}$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 0 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

단계 5.2.4.1.2

$x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

단계 5.2.4.1.3

$2187$ 에서 $2187$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 729$

단계 5.2.4.1.4

$x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 729$

단계 5.2.4.1.5

$- 729$ 를 $729$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 0$

단계 5.2.4.1.6

$x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$

단계 5.2.4.2

$243 x^{\frac{1}{3}}$ 에서 $486 x^{\frac{1}{3}}$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$

단계 5.2.4.3

$x - 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.3.1

$- 243 x^{\frac{1}{3}}$ 를 $243 x^{\frac{1}{3}}$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 0$

단계 5.2.4.3.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729)$ 값을 계산합니다.

$f (x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729) = {(x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729)}^{\frac{1}{3}} - 9$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$ 은 $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$