기초 미적분 예제

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y - 8 = 0$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = 8$

단계 1.2

$4 x^{2} - 8 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

단계 1.2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 4}{4}$

단계 1.2.3.2.2

$- 4$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

단계 1.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

단계 1.2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

단계 1.2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 1}{1}$

단계 1.2.3.2.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 1$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{64}{16}$

단계 1.2.4.2.1.3

$64$ 을 $16$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 4$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 4$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$e = - 4$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ 에 대입합니다.

$4 {(x - 1)}^{2} - 4$

단계 1.3

$4 x^{2} - 8 x$ 를 $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ 로 바꿔 방정식 $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = 8$ 에 대입합니다.

$4 {(x - 1)}^{2} - 4 + y^{2} + 4 y = 8$

단계 1.4

양변에 $4$ 을 더하여 $- 4$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$4 {(x - 1)}^{2} + y^{2} + 4 y = 8 + 4$

단계 1.5

$y^{2} + 4 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

단계 1.5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.3.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

$2 \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

단계 1.5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{2}{1}$

단계 1.5.3.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = 2$

단계 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$4^{2}$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1.1

$4^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.4.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1.2.1

$4 \cdot 1$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

단계 1.5.4.2.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

단계 1.5.4.2.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

단계 1.5.4.2.1.1.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 4$

단계 1.5.4.2.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 4$

단계 1.5.4.2.2

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$e = - 4$

단계 1.5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 ${(y + 2)}^{2} - 4$ 에 대입합니다.

${(y + 2)}^{2} - 4$

단계 1.6

$y^{2} + 4 y$ 를 ${(y + 2)}^{2} - 4$ 로 바꿔 방정식 $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = 8$ 에 대입합니다.

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 8 + 4$

단계 1.7

양변에 $4$ 을 더하여 $- 4$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8 + 4 + 4$

단계 1.8

$8 + 4 + 4$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$8$ 를 $4$ 에 더합니다.

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 12 + 4$

단계 1.8.2

$12$ 를 $4$ 에 더합니다.

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$

단계 1.9

각 항을 $16$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

단계 1.10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 4$

$b = 2$

$k = - 2$

$h = 1$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(1, - 2)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

단계 5.3.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

단계 5.3.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\sqrt{16 - 4}$

단계 5.3.4

$16$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\sqrt{12}$

단계 5.3.5

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{4 (3)}$

단계 5.3.5.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

단계 5.3.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$2 \sqrt{3}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(1, - 2 + 4)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(1, 2)$

단계 6.4

타원의 두번째 꼭지점은 $k$ 에서 $a$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - a)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(1, - 2 - (4))$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(1, - 6)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(1, - 2 + 2 \sqrt{3})$

단계 7.3

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.4

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(1, - 2 - (2 \sqrt{3}))$

단계 7.5

간단히 합니다.

$(1, - 2 - 2 \sqrt{3})$

단계 7.6

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - 2 \sqrt{3})$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

단계 8.3.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

단계 8.3.1.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

단계 8.3.1.4

$16$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

단계 8.3.1.5

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.5.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

단계 8.3.1.5.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

단계 8.3.1.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

단계 8.3.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$2 \sqrt{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

단계 8.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

단계 8.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

단계 8.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(1, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - 2 \sqrt{3})$

이심률: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 10