기초 미적분 예제

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y - 889 = 0$

단계 1

쌍곡선 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $889$ 를 더합니다.

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$

단계 1.2

$11 x^{2} + 22 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 11$

$b = 22$

$c = 0$

단계 1.2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{22}{2 \cdot 11}$

단계 1.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$22$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

$22$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

단계 1.2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 11$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 (11)}$

단계 1.2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

단계 1.2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{11}{11}$

단계 1.2.3.2.2

$11$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{11}{11}$

단계 1.2.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$d = 1$

단계 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{22^{2}}{4 \cdot 11}$

단계 1.2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$22$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{484}{4 \cdot 11}$

단계 1.2.4.2.1.2

$4$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{484}{44}$

단계 1.2.4.2.1.3

$484$ 을 $44$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 11$

단계 1.2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 11$

단계 1.2.4.2.2

$0$ 에서 $11$ 을 뺍니다.

$e = - 11$

단계 1.2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ 에 대입합니다.

$11 {(x + 1)}^{2} - 11$

단계 1.3

$11 x^{2} + 22 x$ 를 $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ 로 바꿔 방정식 $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ 에 대입합니다.

$11 {(x + 1)}^{2} - 11 - 25 y^{2} + 250 y = 889$

단계 1.4

양변에 $11$ 을 더하여 $- 11$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 y^{2} + 250 y = 889 + 11$

단계 1.5

$- 25 y^{2} + 250 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 25$

$b = 250$

$c = 0$

단계 1.5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{250}{2 \cdot - 25}$

단계 1.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$250$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

$250$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

단계 1.5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.2.1

$2 \cdot - 25$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 (- 25)}$

단계 1.5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

단계 1.5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{125}{- 25}$

단계 1.5.3.2.2

$125$ 및 $- 25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

$125$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{25 (5)}{- 25}$

단계 1.5.3.2.2.2

$\frac{5}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$d = - 1 \cdot 5$

단계 1.5.3.2.3

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$d = - 5$

단계 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{250^{2}}{4 \cdot - 25}$

단계 1.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

$250$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot - 25}$

단계 1.5.4.2.1.2

$4$ 에 $- 25$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{62500}{- 100}$

단계 1.5.4.2.1.3

$62500$ 을 $- 100$ 로 나눕니다.

$e = 0 - - 625$

단계 1.5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $- 625$ 을 곱합니다.

$e = 0 + 625$

단계 1.5.4.2.2

$0$ 를 $625$ 에 더합니다.

$e = 625$

단계 1.5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ 에 대입합니다.

$- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$

단계 1.6

$- 25 y^{2} + 250 y$ 를 $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ 로 바꿔 방정식 $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ 에 대입합니다.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} + 625 = 889 + 11$

단계 1.7

양변에 $625$ 을 더하여 $625$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 889 + 11 - 625$

단계 1.8

$889 + 11 - 625$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$889$ 를 $11$ 에 더합니다.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 900 - 625$

단계 1.8.2

$900$ 에서 $625$ 을 뺍니다.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 275$

단계 1.9

각 항을 $275$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{11 {(x + 1)}^{2}}{275} - \frac{25 {(y - 5)}^{2}}{275} = \frac{275}{275}$

단계 1.10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{11} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는 데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = 5$

$b = \sqrt{11}$

$k = 5$

$h = - 1$

단계 4

쌍곡선의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(- 1, 5)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 쌍곡선의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{25 + {(\sqrt{11})}^{2}}$

단계 5.3.2

${\sqrt{11}}^{2}$ 을 $11$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{11}$ 을(를) $11^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{25 + 11^{1}}$

단계 5.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{25 + 11}$

단계 5.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$25$ 를 $11$ 에 더합니다.

$\sqrt{36}$

단계 5.3.3.2

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{6^{2}}$

단계 5.3.3.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$6$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

쌍곡선의 첫 번째 꼭짓점은 $h$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h + a, k)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(4, 5)$

단계 6.3

쌍곡선의 두 번째 꼭짓점은 $h$ 에서 $a$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - a, k)$

단계 6.4

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 6, 5)$

단계 6.5

포물선의 꼭짓점은 $(h \pm a, k)$ 형태입니다. 포물선은 2개의 꼭짓점을 갖습니다.

$(4, 5), (- 6, 5)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

쌍곡선의 첫 번째 초점은 $h$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h + c, k)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(5, 5)$

단계 7.3

쌍곡선의 두 번째 초점은 $h$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - c, k)$

단계 7.4

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 7, 5)$

단계 7.5

쌍곡선의 초점은 $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 형태입니다. 쌍곡선은 초점이 2개입니다.

$(5, 5), (- 7, 5)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}}{5}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{25 + {\sqrt{11}}^{2}}}{5}$

단계 8.3.2

${\sqrt{11}}^{2}$ 을 $11$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{11}$ 을(를) $11^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5}$

단계 8.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5}$

단계 8.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

단계 8.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

단계 8.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{1}}}{5}$

단계 8.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{25 + 11}}{5}$

단계 8.3.3

$25$ 를 $11$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{36}}{5}$

단계 8.3.4

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{6^{2}}}{5}$

단계 8.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{6}{5}$

단계 9

초점 매개변수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

다음의 공식을 이용하여 쌍곡선의 초점 매개변수 값을 구합니다.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

단계 9.2

$b$ , $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{{\sqrt{11}}^{2}}{6}$

단계 9.3

${\sqrt{11}}^{2}$ 을 $11$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{11}$ 을(를) $11^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

단계 9.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

단계 9.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

단계 9.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

단계 9.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{11^{1}}{6}$

단계 9.3.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{11}{6}$

단계 10

쌍곡선이 좌우로 열리는 모양이므로 점근선은 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 와 같은 형태를 가집니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

단계 11

첫 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

괄호를 제거합니다.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

단계 11.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

단계 11.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} x + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

단계 11.2.3

$\frac{\sqrt{11}}{5}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

단계 11.2.4

$\frac{\sqrt{11}}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

단계 12

두 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

단계 12.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

단계 12.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} x - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

단계 12.2.3

$x$ 와 $\frac{\sqrt{11}}{5}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

단계 12.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

단계 13

이 쌍곡선은 두 개의 점근선을 갖습니다.

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5, y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

단계 14

이는 쌍곡선을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(- 1, 5)$

꼭짓점: $(4, 5), (- 6, 5)$

초점: $(5, 5), (- 7, 5)$

이심률: $\frac{6}{5}$

초점 변수: $\frac{11}{6}$

점근선: $y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$ , $y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

단계 15