기초 미적분 예제

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots$

단계 1

각 항 사이의 비가 일정하므로 등비수열입니다. 이 경우 수열의 한 항에 $\frac{1}{3}$ 을 곱하면 다음 항이 나옵니다. 즉, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 입니다.

등비수열: $r = \frac{1}{3}$

단계 2

$S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 공식을 이용하여 급수의 합 $S_{n}$ 을 계산합니다. 무한등비급수 $S_{\infty}$ 의 합의 경우, $n$ 이 $\infty$ 에 가까워질 수록 $1 - r^{n}$ 은 $1$ 에 수렴합니다. 따라서 $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 은 $\frac{a}{1 - r}$ 로 수렴합니다.

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

단계 3

$a = 1$ , $r = \frac{1}{3}$ 값을 $S_{\infty}$ 식에 대입합니다.

$S_{\infty} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

단계 4

$S_{\infty}$ 를 구하기 위하여 방정식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$S_{\infty} = \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

단계 4.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$S_{\infty} = \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

단계 4.1.3

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$S_{\infty} = \frac{1}{\frac{2}{3}}$

단계 4.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$S_{\infty} = 1 (\frac{3}{2})$

단계 4.3

$\frac{3}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$S_{\infty} = \frac{3}{2}$