기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1

식 $\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = 1$

단계 2

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 3

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 3$

$m = 2$

단계 4

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 5

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

단계 5.1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 5.1.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

단계 5.1.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 5.2

${(x - 1)}^{2}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{3}}{(x - 1) (x - 1)}$

단계 5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3}}{x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

단계 5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

단계 5.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

단계 5.2.5

$x$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

단계 5.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

단계 5.2.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

단계 5.2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{3}}{x^{1 + 1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

단계 5.2.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

단계 5.2.10

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1 x - 1 x + 1}$

단계 5.2.11

$- 1 x$ 에서 $1 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1}$

단계 5.3

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 5.4

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 5.5

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

단계 5.6

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - 2 x^{2} + x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

단계 5.7

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

단계 5.8

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

단계 5.9

피제수 $2 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

단계 5.10

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

단계 5.11

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{2} - 4 x + 2$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

단계 5.12

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$3 x$

$2$

단계 5.13

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$x + 2 + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

단계 5.14

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = x + 2$

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = 1$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = x + 2$

단계 7