기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{- 4 x + 8}$

단계 1

식 $\frac{x^{2} + 2 x}{- 4 x + 8}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = 2$

단계 2

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 3

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 2$

$m = 1$

단계 4

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 5

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$x^{2} + 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x + 2 x}{- 4 x + 8}$

단계 5.1.1.2

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{- 4 x + 8}$

단계 5.1.1.3

$x \cdot x + x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x + 2)}{- 4 x + 8}$

단계 5.1.2

$- 4 x + 8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x + 2)}{4 (- x) + 8}$

단계 5.1.2.2

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x + 2)}{4 (- x) + 4 (2)}$

단계 5.1.2.3

$4 (- x) + 4 (2)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x + 2)}{4 (- x + 2)}$

단계 5.1.3

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x + 2)}{4 (- (x) + 2)}$

단계 5.1.4

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (x + 2)}{4 (- (x) - 1 (- 2))}$

단계 5.1.5

$- (x) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x + 2)}{4 (- (x - 2))}$

단계 5.1.6

음수 부분을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.6.1

$- (x - 2)$ 을 $- 1 (x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (x + 2)}{4 (- 1 (x - 2))}$

단계 5.1.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x (x + 2)}{4 (x - 2)}$

단계 5.2

$- x (x + 2)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

음의 $x$

$\frac{- x (x + 2)}{4 (x - 2)}$

단계 5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 2}{4 (x - 2)}$

단계 5.2.3

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

단계 5.2.4

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

단계 5.2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

단계 5.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

단계 5.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

단계 5.2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

단계 5.2.9

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} - 2 x}{4 (x - 2)}$

단계 5.3

$4 (x - 2)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} - 2 x}{4 x + 4 \cdot - 2}$

단계 5.3.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} - 2 x}{4 x - 8}$

단계 5.4

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$4 x$

$8$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

단계 5.5

피제수 $- x^{2}$ 의 고차항을 제수 $4 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$\frac{x}{4}$
	$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$

단계 5.6

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

단계 5.7

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x^{2} + 2 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

단계 5.8

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$

단계 5.9

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$

단계 5.10

피제수 $- 4 x$ 의 고차항을 제수 $4 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$

단계 5.11

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					-	$4 x$	+	$8$

단계 5.12

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 4 x + 8$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					+	$4 x$	-	$8$

단계 5.13

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					+	$4 x$	-	$8$
							-	$8$

단계 5.14

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$- \frac{x}{4} - 1 - \frac{8}{4 x - 8}$

단계 5.15

답을 다항식 부분과 나머지 부분으로 나눕니다.

$- \frac{x}{4} - 1 + \frac{8}{- 4 x + 8}$

단계 5.16

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = - \frac{x}{4} - 1$

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = 2$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = - \frac{x}{4} - 1$

단계 7