기초 미적분 예제

$f (x) = 8 x^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

단계 1

$f (x) = 8 x^{5}$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 8 x^{5}$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 8 y^{5}$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$8 y^{5} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$8 y^{5} = x$

단계 3.2

$8 y^{5} = x$ 의 각 항을 $8$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$8 y^{5} = x$ 의 각 항을 $8$ 로 나눕니다.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

단계 3.2.2.1.2

$y^{5}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{5} = \frac{x}{8}$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{8}}$

단계 3.4

$\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ 을 $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$

단계 3.4.2

$\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ 에 $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

단계 3.4.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ 에 $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

단계 3.4.3.2

$\sqrt[5]{8}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

단계 3.4.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

단계 3.4.3.4

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

단계 3.4.3.5

${\sqrt[5]{8}}^{5}$ 을 $8$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[5]{8}$ 을(를) $8^{\frac{1}{5}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

단계 3.4.3.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

단계 3.4.3.5.3

$\frac{1}{5}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

단계 3.4.3.5.4

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

단계 3.4.3.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

단계 3.4.3.5.5

지수값을 계산합니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

단계 3.4.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

${\sqrt[5]{8}}^{4}$ 을 $\sqrt[5]{8^{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

단계 3.4.4.2

$8$ 를 $4$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4096}}{8}$

단계 3.4.4.3

$4096$ 을 $4^{5} \cdot 4$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1

$4096$ 에서 $1024$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

단계 3.4.4.3.2

$1024$ 을 $4^{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

단계 3.4.4.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

단계 3.4.4.5

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{8}$

단계 3.4.5

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

$4$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.1

$4 \sqrt[5]{x \cdot 4}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 (\sqrt[5]{x \cdot 4})}{8}$

단계 3.4.5.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1.2.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

단계 3.4.5.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

단계 3.4.5.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$

단계 3.4.5.2

$\frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ 가 $f (x) = 8 x^{5}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (8 x^{5})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{4 (8 x^{5})}}{2}$

단계 5.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

단계 5.2.3.2

$32 x^{5}$ 을 ${(2 x)}^{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

단계 5.2.3.3

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

단계 5.2.4.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})}^{5}$

단계 5.3.3

$\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[5]{4 x}}^{5}}{2^{5}})$

단계 5.3.4

${\sqrt[5]{4 x}}^{5}$ 을 $4 x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[5]{4 x}$ 을(를) ${(4 x)}^{\frac{1}{5}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}})$

단계 5.3.4.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}})$

단계 5.3.4.3

$\frac{1}{5}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

단계 5.3.4.4

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

단계 5.3.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

단계 5.3.4.5

간단히 합니다.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

단계 5.3.5

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{32})$

단계 5.3.6

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.6.1

$32$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 (4)})$

단계 5.3.6.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 \cdot 4})$

단계 5.3.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

단계 5.3.7

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

단계 5.3.7.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ 은 $f (x) = 8 x^{5}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$