기초 미적분 예제

$y = \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$

단계 1

식 $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = - \sqrt{3}, x = \sqrt{3}$

단계 2

왼쪽에서 $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ 이므로 $x = - \sqrt{3}$ 는 수직점근선입니다.

$x = - \sqrt{3}$

단계 3

왼쪽에서 $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ 이므로 $x = \sqrt{3}$ 는 수직점근선입니다.

$x = \sqrt{3}$

단계 4

모든 수직점근선을 나열하기:

$x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

단계 5

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 6

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 3$

$m = 2$

단계 7

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 8

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) + 3}$

단계 8.1.2

$3$ 을 $- 1 (- 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) - 1 (- 3)}$

단계 8.1.3

$- (x^{2}) - 1 (- 3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2} - 3)}$

단계 8.1.4

음수 부분을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.4.1

$- (x^{2} - 3)$ 을 $- 1 (x^{2} - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- 1 (x^{2} - 3)}$

단계 8.1.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{x^{2} - 3}$

단계 8.2

$- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

음의 $2 x^{3} + 4 x^{2} - 9$

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)}{x^{2} - 3}$

단계 8.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

단계 8.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

단계 8.2.4

괄호를 제거합니다.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

단계 8.2.5

괄호를 제거합니다.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

단계 8.2.6

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

단계 8.2.7

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

단계 8.2.8

$- 1$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

단계 8.3

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

단계 8.4

피제수 $- 2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

						-	$2 x$
	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$

단계 8.5

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

$2 x^{3}$

$0$

$6 x$

단계 8.6

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x^{3} + 0 + 6 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$

단계 8.7

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$

단계 8.8

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

단계 8.9

피제수 $- 4 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

단계 8.10

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$	+	$12$

단계 8.11

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 4 x^{2} + 0 + 12$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$

단계 8.12

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$
									-	$6 x$	-	$3$

단계 8.13

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$- 2 x - 4 + \frac{- 6 x - 3}{x^{2} - 3}$

단계 8.14

답을 다항식 부분과 나머지 부분으로 나눕니다.

$- 2 x - 4 + \frac{6 x + 3}{- x^{2} + 3}$

단계 8.15

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = - 2 x - 4$

단계 9

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = - 2 x - 4$

단계 10