기초 대수 예제

$\frac{a^{2} - a - 20}{a^{2} - 25} \div \frac{a^{2} - 13 a + 36}{45 - 5 a}$

단계 1

분수로 나누려면 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{a^{2} - a - 20}{a^{2} - 25} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $a^{2} - a - 20$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 20$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 5, 4$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{a^{2} - 25} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

단계 3

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{a^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

단계 3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = a$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

단계 4

$a - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

단계 4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

단계 5

$45 - 5 a$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.1

$45$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9) - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

단계 5.2

$- 5 a$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9) + 5 (- a)}{a^{2} - 13 a + 36}$

단계 5.3

$5 (9) + 5 (- a)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9 - a)}{a^{2} - 13 a + 36}$

단계 6

AC 방법을 이용하여 $a^{2} - 13 a + 36$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $36$ 이고 합은 $- 13$ 입니다.

$- 9, - 4$

단계 6.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9 - a)}{(a - 9) (a - 4)}$

단계 7

$9 - a$ 및 $a - 9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1

$9$ 을 $- 1 (- 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9) - a)}{(a - 9) (a - 4)}$

단계 7.2

$- a$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9) - (a))}{(a - 9) (a - 4)}$

단계 7.3

$- 1 (- 9) - (a)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9 + a))}{(a - 9) (a - 4)}$

단계 7.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (a - 9))}{(a - 9) (a - 4)}$

단계 7.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (a - 9))}{(a - 9) (a - 4)}$

단계 7.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 \cdot (- 1)}{a - 4}$

단계 8

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{- 5}{a - 4}$

단계 9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{a + 4}{a + 5} (- \frac{5}{a - 4})$

단계 10

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5}{a - 4}$

단계 11

$\frac{5}{a - 4}$ 에 $\frac{a + 4}{a + 5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{5 (a + 4)}{(a - 4) (a + 5)}$

단계 12

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{5 a + 5 \cdot 4}{(a - 4) (a + 5)}$

단계 13

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{5 a + 20}{(a - 4) (a + 5)}$

단계 14

분수 $\frac{5 a + 20}{(a - 4) (a + 5)}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$- (\frac{5 a}{(a - 4) (a + 5)} + \frac{20}{(a - 4) (a + 5)})$