기초 대수 예제

$\frac{x^{2} - 6 x - 27}{3 x^{2} - 243} \div \frac{x^{2} + 12 x + 27}{x^{2} + 18 x + 81}$

단계 1

분수로 나누려면 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 6 x - 27}{3 x^{2} - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 6 x - 27$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 27$ 이고 합은 $- 6$ 입니다.

$- 9, 3$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 x^{2} - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

단계 3

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$3 x^{2} - 243$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2}) - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

단계 3.1.2

$- 243$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 x^{2} + 3 \cdot - 81} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

단계 3.1.3

$3 x^{2} + 3 \cdot - 81$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2} - 81)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

단계 3.2

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2} - 9^{2})} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

단계 3.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 9$ 입니다.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x + 9) (x - 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

단계 4

$x - 9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x + 9) (x - 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

단계 4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

단계 5

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 5.1

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 9^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

단계 5.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

단계 5.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

단계 5.4

$a = x$ 이고 $b = 9$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

단계 6

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 12 x + 27$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $27$ 이고 합은 $12$ 입니다.

$3, 9$

단계 6.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 3) (x + 9)}$

단계 7

$x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 3) (x + 9)}$

단계 7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x + 9}$

단계 8

$x + 9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1

$3 (x + 9)$ 에서 $x + 9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x + 9}$

단계 8.2

${(x + 9)}^{2}$ 에서 $x + 9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 9) (x + 9)}{x + 9}$

단계 8.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 9) (x + 9)}{x + 9}$

단계 8.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x + 9}{x + 9}$

단계 9

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{x + 9}{x + 9}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 9}{3 (x + 9)}$

단계 10

$x + 9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x + 9}{3 (x + 9)}$

단계 10.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{3}$

소수 형태:

$0.\overline{3}$